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MATHÉMATIQUES — 3e LES PUISSANCES Notation an et a−n
• signe • propriétés • puissances de 10 écriture scientifique • préfixes de nano
à giga |
Rappel
de cours • Exercices résolus • Entraînement • Quiz de 50 questions
Évaluation
blanche « type DM 2 » • Épreuve type brevet 2027 • Corrigés regroupés
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Compétences |
3-A, 3-B, 3-C, 3-D, 3-E, 3-H, 3-I, 3-J (grille du Devoir
Maison 2) |
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Échéance |
Devoir Maison 2 à rendre le lundi 16 novembre |
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Référence |
Brevet (DNB) session 2027 — épreuve de mathématiques |
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Méthode de travail |
Blocs Pomodoro de 25 min • cartes Leitner • quiz immédiat |
Sommaire
Mode d'emploi et objectifs.............................. 3
1. La notation an............................................ 4
2. La notation a−n........................................... 5
3. Le signe d'une puissance......................... 6
4. Les propriétés des puissances................ 7
5. Priorités opératoires avec des puissances..................................................... 8
6. Les puissances de 10............................... 9
7. L'écriture scientifique.............................. 10
8. Les préfixes de nano à giga.................. 11
Fiche de révision express............................. 12
Exercices résolus........................................... 13
Exercices d'entraînement............................. 14
Quiz de 50 questions..................................... 15
Évaluation blanche « type DM 2 »............... 18
Épreuve type brevet 2027............................. 20
Corrigés............................................................ 22
Bibliographie et ressources......................... 25
Mode d'emploi et objectifs
Ce cahier
prépare le Devoir Maison 2 (compétences 3-A à 3-J) et, plus largement,
l'épreuve de mathématiques du brevet 2027. Il ne donne pas les
réponses du devoir maison : il entraîne sur exactement les mêmes compétences,
avec d'autres nombres. Le devoir maison reste ton travail personnel.
Les compétences évaluées
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Code |
Compétence |
Où la travailler dans ce
cahier |
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3-A |
Comprendre et utiliser la notation an |
Chapitre 1 • Entr. 1 • Q1–7 |
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3-B |
Comprendre
et utiliser la notation a−n |
Chapitre
2 • Entr. 1–2 • Q8–16 |
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3-C |
Déterminer le signe de an |
Chapitre 3 • Entr. 3 • Q17–21 |
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3-D |
Calculer
avec les propriétés des puissances |
Chapitre
4 • Résolu 1 • Entr. 4 • Q22–31 |
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3-E |
Calculer une expression contenant des puissances |
Chapitre 5 • Résolu 2 • Entr. 5 • Q32–34 |
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3-H |
Calculer
avec les puissances de 10 |
Chapitre
6 • Entr. 4 et 7 • Q35–38 |
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3-I |
Déterminer l'écriture scientifique |
Chapitre 7 • Résolu 3 • Entr. 6–7 • Q39–44 |
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3-J |
Utiliser
les préfixes de nano à giga |
Chapitre
8 • Résolu 4 • Entr. 8–10 • Q45–50 |
Comment travailler (cycle en 4 temps)
1)
Découverte : lis un chapitre de cours (un bloc
Pomodoro de 25 min, puis 5 min de pause).
2)
Lecture active : reformule par écrit chaque
encadré « À retenir » avec tes propres mots, puis redis-le à voix haute.
3)
Quiz immédiat : fais les questions du quiz
correspondant au chapitre (voir tableau ci-dessus).
4)
Cartes Leitner : chaque encadré « Définition »
ou « À retenir » et chaque question ratée devient une carte (question au recto,
réponse au verso).
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ATTENTION — Rappels sur le brevet 2027 •
Épreuve
de 2 h notée sur 20 : partie 1 « automatismes » (20 min, sans
calculatrice, 6 points, réponses courtes) puis partie 2 « raisonnement »
(1 h 40, calculatrice autorisée, 14 points, toutes les réponses justifiées). •
Pas
de QCM dans le sujet du brevet : il faut écrire ses réponses. Le quiz de ce
cahier est un outil d'entraînement, pas un modèle d'épreuve. •
Au
moins 2 points de maîtrise de la langue : orthographe, syntaxe, vocabulaire et
organisation du raisonnement, surtout dans les questions écrites en gras.
Réponds toujours par une phrase. |
1. La notation an
Compétence 3-A
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DÉFINITION — Puissance d'un nombre Soit a un nombre et n un entier
positif (n ≥ 1). On note : an
= a × a × … × a (n facteurs tous égaux à a) On lit « a puissance n » ou « a
exposant n ». Le nombre a est la base, n est l'exposant. Cas particuliers : a1
= a et, pour a ≠ 0, a0 = 1. On dit a2 « a au
carré » et a3 « a au cube ». |
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EXEMPLE •
34
= 3 × 3 × 3 × 3 = 81 •
(−2)3
= (−2) × (−2) × (−2) = −8 •
(2/5)2
= (2/5) × (2/5) = 4/25 (on élève le
numérateur et le dénominateur) •
0,13
= 0,1 × 0,1 × 0,1 = 0,001 |
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ATTENTION — Les parenthèses changent tout •
(−3)2 : la base est −3. (−3)2
= (−3) × (−3) = 9. •
−32 : la base est 3 seulement, le
signe « − » est devant. −32 = −(3 × 3) = −9. •
Ne
confonds pas 23 = 2 × 2 × 2 = 8 avec 2 × 3 = 6. |
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MÉTHODE — Écrire un nombre sous la forme an On cherche une base qui,
multipliée plusieurs fois par elle-même, donne le nombre. On décompose en
produit de facteurs égaux : •
64
= 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 26
(ou 43, ou 82 : plusieurs réponses sont
possibles) •
−125
= (−5) × (−5) × (−5) = (−5)3
(un nombre négatif s'écrit avec une base négative et un exposant impair) •
9/16
= (3 × 3)/(4 × 4) = (3/4)2 |
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À RETENIR — Carrés et cubes à connaître par cœur
Puissances de 2 : 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1 024. |
2. La notation a−n
Compétence 3-B
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DÉFINITION — Exposant négatif Soit a un nombre non nul
et n un entier positif. On note : a−n = 1 / an a−n est l'inverse
de an. En particulier a−1 = 1/a. |
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EXEMPLE •
5−2
= 1/52 = 1/25 •
(−3)−3
= 1/(−3)3 = 1/(−27) = −1/27 •
2−1
= 1/2 = 0,5 |
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À RETENIR — Fraction à un exposant négatif Pour a et b non nuls : (a/b)−n
= (b/a)n. On « retourne » la fraction et l'exposant devient
positif. •
(3/2)−2
= (2/3)2 = 4/9 •
(1/4)−3
= 43 = 64 |
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ATTENTION — Exposant négatif ≠ nombre négatif 4−2 n'est pas
négatif : 4−2 = 1/16, c'est un nombre positif (et petit). Le « − »
de l'exposant signifie « inverse », pas « opposé ». |
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MÉTHODE — Écrire 1/N sous la forme a−n 1)
On
écrit d'abord le dénominateur N sous la forme an. 2)
On
applique 1/an = a−n. Exemple : 1/81 = 1/34 = 3−4. Autre exemple : 1/(−8) = 1/(−2)3
= (−2)−3. |
3. Le signe d'une puissance
Compétence 3-C
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À RETENIR — Règle des signes •
Si
la base a est positive, an est positif (quel que
soit n, même négatif). •
Si
la base a est négative : an est positif si n est pair,
négatif si n est impair. •
Un
exposant négatif ne change pas le signe : a−n = 1/an a
le même signe que an. |
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Expression |
Signe |
Pourquoi ? |
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(−2)6 |
positif |
base négative, exposant 6 pair |
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(−2)5 |
négatif |
base
négative, exposant 5 impair |
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(−3)−4 |
positif |
même signe que (−3)4 : exposant pair |
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7−9 |
positif |
base
positive |
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−74 |
négatif |
c'est l'opposé de 74, qui est positif |
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−(−5)3 |
positif |
(−5)3
est négatif, son opposé est positif |
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MÉTHODE — Trouver un signe sans calculer 1)
Repère
la base : y a-t-il des parenthèses autour du nombre négatif ? 2)
Si
la base est négative, regarde la parité de l'exposant (pair / impair),
sans tenir compte de son signe. 3)
Termine
par le « − » éventuel placé devant la puissance. |
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ATTENTION (−1)n vaut 1 si n est
pair et −1 si n est impair : (−1)2026 = 1 et (−1)2027 =
−1. |
4. Les propriétés des puissances
Compétence 3-D — a
et b sont des nombres non nuls, m et n des entiers relatifs.
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À RETENIR — Les cinq règles de calcul
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ATTENTION — Les pièges classiques •
Pas
de règle pour l'addition : 23 + 24 = 8 + 16 = 24, ce n'est pas 27. •
Pour
multiplier, il faut la même base (on additionne les exposants) ou
le même exposant (on multiplie les bases). Sinon, on transforme d'abord. •
Attention
aux signes dans les soustractions d'exposants : 7−2 / 75
= 7−2−5 = 7−7. •
(am)n
: on multiplie les exposants ; am × an : on les additionne. |
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MÉTHODE — Ramener à une même base Quand les bases sont
différentes, on cherche si l'une est une puissance de l'autre. Exemple : 93 × 3−4 = (32)3
× 3−4 = 36 × 3−4 = 32. Exemple : 82 × 2−3
= (23)2 × 2−3 = 26 × 2−3
= 23. |
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MÉTHODE — Deux fractions au même exposant On multiplie les fractions avant
d'appliquer l'exposant, puis on simplifie : (10/3)−5 × (9/4)−5 = (10 × 9 / (3 × 4))−5
= (90/12)−5 = (15/2)−5. |
5. Priorités opératoires avec des
puissances
Compétence 3-E
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À RETENIR — Ordre des calculs 1)
Les
calculs entre parenthèses. 2)
Les
puissances. 3)
Les
multiplications et divisions (de gauche à droite). 4)
Les
additions et soustractions (de gauche à droite). |
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EXEMPLE A = 20 − 3 × 22 A = 20 − 3 × 4 (puissance d'abord) A = 20 − 12 (puis la multiplication) A = 8 |
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ATTENTION •
3
× 22 = 3 × 4 = 12 et non (3 × 2)2 = 36. •
(−0,5)2
= 0,25 : le carré d'un nombre négatif est positif. •
Écris
une ligne par étape : le correcteur valorise la démarche. |
6. Les puissances de 10
Compétence 3-H
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DÉFINITION Pour n entier positif : •
10n
= 1 suivi de n zéros
: 104 = 10 000. •
10−n
= 0,0…01 avec n chiffres après la virgule : 10−4 = 0,000 1. •
100
= 1. |
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10n |
10−3 |
10−2 |
10−1 |
100 |
101 |
102 |
103 |
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Valeur |
0,001 |
0,01 |
0,1 |
1 |
10 |
100 |
1 000 |
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À RETENIR — Mêmes règles, appliquées à 10 •
10m
× 10n = 10m+n
ex. : 10−5 × 108 = 103 •
10m
/ 10n = 10m−n
ex. : 102 / 10−4 = 106 •
(10m)n
= 10m×n ex. : (10−2)−3
= 106 |
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MÉTHODE — Multiplier un décimal par 10n •
×
10n (n > 0) : on décale la virgule de n rangs vers la droite
: 3,7 × 103 = 3 700. •
×
10−n : on décale la virgule de n rangs vers la gauche : 3,7
× 10−3 = 0,003 7. |
7. L'écriture scientifique
Compétence 3-I
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DÉFINITION L'écriture scientifique d'un
nombre décimal non nul est de la forme : a × 10n avec
1 ≤ a < 10 (un seul
chiffre non nul avant la virgule) et n
entier relatif. Pour un nombre négatif : −a × 10n
avec 1 ≤ a < 10. |
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MÉTHODE — Passer en écriture scientifique 1)
Place
la virgule juste après le premier chiffre non nul : c'est a. 2)
Compte
de combien de rangs la virgule s'est déplacée : c'est |n|. 3)
Le
nombre a été rendu plus petit (virgule à gauche) → n positif. Il a été rendu
plus grand (virgule à droite) → n négatif. Exemples : 8 210 = 8,21 × 103 •
0,000 56 = 5,6 × 10−4 |
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MÉTHODE — Si le nombre contient déjà une puissance de
10 On écrit la partie décimale en
écriture scientifique, puis on regroupe les puissances de 10 : •
640
× 10−7 = 6,4 × 102 × 10−7 = 6,4 × 10−5 •
0,025
× 106 = 2,5 × 10−2 × 106 = 2,5 × 104 |
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MÉTHODE — Calculer une expression avec des puissances
de 10 1)
Regroupe
les nombres « ordinaires » d'un côté, les puissances de 10 de l'autre. 2)
Calcule
les nombres ordinaires ; calcule les puissances de 10 avec les règles. 3)
Transforme
le résultat si l'on demande l'écriture scientifique. |
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ATTENTION 45 × 103 n'est pas
une écriture scientifique (45 ≥ 10) ; 0,45 × 105 non plus (0,45
< 1). La bonne écriture est 4,5 × 104. |
8. Les préfixes de nano à giga
Compétence 3-J
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À RETENIR — Le tableau des préfixes
Moyen mnémotechnique : de giga à nano, on descend de trois en
trois : 9, 6, 3, … , −3, −6, −9. |
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ATTENTION — En informatique Au collège, on utilise la
convention du Système international : 1 Go = 1 000 Mo et 1 Mo = 1
000 ko. (Certains logiciels comptent 1 024, mais ce n'est pas attendu au
brevet sauf si l'énoncé le précise.) |
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MÉTHODE — Convertir avec les préfixes 1)
On
remplace le préfixe par sa puissance de 10 : 250 nm = 250 × 10−9
m. 2)
On
met en écriture scientifique si besoin : 250 × 10−9 = 2,5 × 102
× 10−9 = 2,5 × 10−7 m. 3)
Pour
comparer deux tailles, on les exprime dans la même unité, puis on
divise la plus grande par la plus petite. |
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EXEMPLE — Combien de fois plus grand ? Un cheveu mesure 60 µm
d'épaisseur, une nanoparticule 30 nm. 60 µm = 60 × 10−6 m
et 30 nm = 30 × 10−9 m. (60 × 10−6) / (30 ×
10−9) = 2 × 10−6−(−9) = 2 × 103 = 2 000.
Le cheveu est 2 000 fois plus épais. |
Fiche de révision express
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Notion |
L'essentiel |
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an |
a × a × … × a (n fois) ; a1 = a ; a0
= 1 |
|
a−n |
1 / an (inverse) ; (a/b)−n =
(b/a)n |
|
Signe |
base > 0 → positif ; base < 0 : exposant pair → +,
impair → − |
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Parenthèses |
(−3)2
= 9 mais −32 = −9 |
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Produit |
am
× an = am+n ; an × bn = (ab)n |
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Quotient |
am / an = am−n ; an
/ bn = (a/b)n |
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Puissance de puissance |
(am)n = am×n |
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Addition |
aucune
règle : on calcule chaque puissance |
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Priorités |
parenthèses → puissances → × ÷ → + − |
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10n
/ 10−n |
1 suivi
de n zéros / n chiffres après la virgule (0,0…01) |
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Écriture scientifique |
a × 10n avec 1 ≤ a < 10 |
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Préfixes |
G 109
• M 106 • k 103 • m 10−3 • µ 10−6
• n 10−9 |
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À RETENIR — 12 cartes Leitner à fabriquer
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Exercices résolus
Lis chaque
solution, cache-la, puis refais l'exercice seul. Les étapes détaillées sont
celles attendues dans le devoir maison.
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EXERCICE RÉSOLU — 1. Propriétés (3-D) Énoncé : écrire B = 6−4 ×
(63)2 / 6−5 sous la forme 6n. (63)2 = 63×2
= 66 Numérateur : 6−4 × 66
= 6−4+6 = 62 B = 62 / 6−5
= 62−(−5) = 62+5 B = 67 |
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EXERCICE RÉSOLU — 2. Expression avec des puissances
(3-E) Énoncé : calculer C = (−0,2)2
× 103 − 3 × 22 + (−1)5 × 4. Puissances : (−0,2)2
= 0,04 ; 103 = 1 000 ; 22 = 4 ; (−1)5 = −1. C = 0,04 × 1 000 − 3 × 4 + (−1)
× 4 C = 40 − 12 − 4 C = 24 |
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EXERCICE RÉSOLU — 3. Puissances de 10 et écriture
scientifique (3-H, 3-I) Énoncé : calculer D = (6 × 10−3
× 5 × (104)2) / (15 × 102) et donner le
résultat en écriture scientifique. On regroupe : D = (6 × 5 / 15) ×
(10−3 × 108 / 102) 6 × 5 / 15 = 30 / 15 = 2 10−3 × 108
= 105 puis 105 / 102 = 103 D = 2 × 103 (déjà en écriture scientifique
car 1 ≤ 2 < 10). |
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EXERCICE RÉSOLU — 4. Préfixes (3-J) Énoncé : une clé USB de 32 Go contient
18 Go de données. Combien de chansons de 5 Mo peut-on encore y copier ? Espace libre : 32 − 18 = 14 Go. Conversion : 14 Go = 14 × 1 000 Mo = 14 000 Mo. Nombre de chansons : 14 000 / 5
= 2 800. Réponse rédigée : on peut encore copier au
maximum 2 800 chansons de 5 Mo. |
Exercices d'entraînement
Détaille
toujours les calculs, comme dans le devoir maison. Les corrigés sont à la fin
du cahier.
Exercice 1 — Calculer (3-A ;
3-B)
Donner le
résultat sous la forme d'un entier ou d'une fraction la plus simple possible.
A = 52 B = (−3)3 C = −24 D = (3/4)2
E = (−2)−3 F = (5/2)−2 G = 70 H = (−1)15
Exercice 2 — Écrire sous la forme an ou (a/b)n (3-A ; 3-B)
a, b et n sont
des entiers relatifs. Détailler le raisonnement.
A = 81 B = −8 C = 1/64 D = 1/(−125) E = 9/49 F = 0,001
Exercice 3 — Signe (3-C)
Déterminer le
signe sans calculer, en justifiant.
A = (−7)12 B = (−2)−5 C = −64 D = 3−9 E = −(−4)3 F = (−1)2027
Exercice 4 — Propriétés (3-D ;
3-H)
Écrire chaque
expression sous la forme 10n, an ou (a/b)n.
Détailler.
A = 103
× 10−8 × 104
B = (104)−2
C = 7−6 / 74
D = (3/5)−4
× (3/5)7 E = (9/4)5
× (2/3)5 F = 123
/ 363
G = 53
× (5−2)4 / 5−9 H = 95 × 3−7 I = 82 × 2−5
Exercice 5 — Calcul avec priorités (3-E)
A = 50 − 2 × 33 B = (−0,5)2 × 102
− 4 × 23 + (−2)2 × 3 C = (1 − 3)3 + 2 × (−1)4
Exercice 6 — Écriture scientifique (3-I)
A = 52 700 B = 0,000 48 C = 720 × 105 D = 0,035 × 10−2 E = 0,6
Exercice 7 — Calcul avec puissances de 10
(3-H ; 3-I)
Donner le
résultat sous la forme a × 10n ou (a/b) × 10n (a, b, n
entiers relatifs).
A = (4 × 105 × 6 × (10−2)3)
/ (8 × 10−4) B = (−21 ×
10−3 × 5 × (103)2) / (108 × 35 × 10−6)
Exercice 8 — Stockage (3-J)
Sur sa clé USB
de 64 Go, Inès a déjà 23 Go de fichiers.
1)
Quel espace libre lui reste-t-il ?
2)
Combien de photos de 4 Mo chacune peut-elle encore
enregistrer au maximum ?
Exercice 9 — Globule et virus (3-J)
Un globule
rouge a un diamètre d'environ 7 µm ; un virus de la grippe mesure environ 100
nm. Combien de fois le globule rouge est-il plus grand que le virus ?
Répondre par une phrase.
Exercice 10 — Conversions (3-J ;
3-I)
Écrire en
écriture scientifique dans l'unité demandée.
a) 3,2 GHz en
Hz b) 450 nm en m c) 2,5 mg en g d) 0,8 Mo en octets
Quiz de 50 questions
Entoure la
bonne réponse. Compte 1 point par bonne réponse. Chaque erreur devient une
carte Leitner. Grille de correction en fin de cahier.
Notation an (3-A)
1. 34
= ?
a) 81 b)
12 c)
64 d)
7
2. (−2)4
= ?
a) −16 b)
16 c)
−8 d)
8
3. −24
= ?
a) 16 b)
−16 c)
8 d)
−8
4. (−5)3
= ?
a) 125 b)
−15 c)
15 d)
−125
5. 70
= ?
a) 0 b)
1 c)
7 d)
−7
6. 91
= ?
a) 1 b)
9 c)
0 d)
81
7. (2/3)3
= ?
a) 6/9 b)
2/27 c)
8/27 d)
8/9
Notation a−n
(3-B)
8. 2−3
= ?
a) −8 b)
−6 c)
1/6 d)
1/8
9. 10−2
= ?
a) 0,01 b)
−100 c)
−20 d)
0,001
10. (−3)−2
= ?
a) −1/9 b)
1/9 c)
9 d)
−6
11. (4/5)−1 = ?
a) 5/4 b) −4/5 c)
4/5 d)
−5/4
12. (1/2)−3 = ?
a) 1/8 b) −8 c)
1/6 d)
8
13. a−n est égal à :
a) −an b)
−n × a c)
1/an d)
n/a
14. 1/49 s'écrit :
a) 7−2 b) −72 c) 2−7 d)
49−2
15. 32 = ?
a) 52 b) 25 c) 26 d) 42
16. −27 = ?
a) 3−3 b) (−3)−3 c)
(−3)3 d)
(−9)3
Signe (3-C)
17. Signe de (−4)10 :
a) négatif b) nul c)
impossible à dire d)
positif
18. Signe de (−6)7 :
a) négatif b) positif c)
nul d)
impossible à dire
19. Signe de −28 :
a) positif b) nul c)
négatif d)
impossible à dire
20. Signe de 5−3 :
a) positif b) négatif c)
nul d)
impossible à dire
21. Signe de (−3)−5 :
a) positif b) nul c)
négatif d)
impossible à dire
Propriétés (3-D)
22. am
× an = ?
a) am+n b)
am×n c)
am−n d)
(2a)m+n
23. 53
× 54 = ?
a) 512 b)
257 c)
57 d)
2512
24. 38
/ 32 = ?
a) 34 b)
310 c)
16 d)
36
25. (23)4
= ?
a) 27 b)
2−1 c)
212 d)
64
26. 7−3
× 75 = ?
a) 7−15 b)
78 c)
492 d)
72
27. 45
× 35 = ?
a) 125 b)
75 c)
1210 d)
710
28. 106
/ 10−2 = ?
a) 104 b)
10−3 c)
108 d)
10−12
29. (10−3)2
= ?
a) 10−6 b) 10−1 c)
10−9 d)
106
30. 23 + 23
= ?
a) 26 b) 24 c) 46 d) 43
31. 82 écrit comme
une puissance de 2 :
a) 25 b) 24 c) 26 d) 28
Priorités (3-E)
32. Dans 3 + 2 × 42,
on calcule d'abord :
a) 3 + 2 b) 42 c) 2
× 4 d)
3 + 2 × 4
33. 3 + 2 × 42 = ?
a) 35 b) 400 c)
67 d)
83
34. 10 − 32 × 2 = ?
a) 2 b) −8 c)
98 d)
−26
Puissances de 10 (3-H)
35. 105
= ?
a) 100 000 b)
1 000 000 c)
50 d)
10 000
36. 10−4
= ?
a) 0,000 1 b)
0,000 01 c)
−10 000 d)
−40
37. 0,001 =
?
a) 10−2 b)
10−3 c)
103 d)
10−4
38. 103 × 10−7
× 102 = ?
a) 10−42 b) 1012 c)
102 d)
10−2
Écriture scientifique (3-I)
39. Écriture scientifique de 4
500 :
a) 4,5 × 103 b) 45 × 102 c)
4,5 × 102 d)
0,45 × 104
40. Écriture scientifique de
0,006 2 :
a) 6,2 × 103 b) 6,2 × 10−3 c)
62 × 10−4 d)
6,2 × 10−2
41. Lequel est en écriture
scientifique ?
a) 70,3 × 10−6 b) 7,03 × 10−5 c)
0,703 × 10−4 d)
10 × 10−6
42. 25 × 104 en
écriture scientifique :
a) 2,5 × 103 b)
25 × 104 c)
0,25 × 106 d)
2,5 × 105
43. 0,8 × 10−3
= ?
a) 8 × 10−2 b)
8 × 10−3 c)
0,8 × 10−4 d)
8 × 10−4
44. (3 × 102)
× (2 × 105) = ?
a) 6 × 1010 b)
6 × 107 c)
5 × 107 d)
6 × 103
Préfixes (3-J)
45. Le préfixe giga (G)
correspond à :
a) 106 b) 1012 c)
109 d)
103
46. Le préfixe nano (n)
correspond à :
a) 10−6 b) 109 c)
10−3 d)
10−9
47. Le préfixe micro (µ)
correspond à :
a) 10−3 b) 106 c)
10−9 d)
10−6
48. 1 Go = ? (convention du
collège)
a) 100 Mo b)
1 000 000 Mo c)
1 000 Mo d)
10 Mo
49. 5 mm = ?
a) 5 × 10−2 m b)
5 × 103 m c)
5 × 10−6 m d)
5 × 10−3 m
50. 4 MW = ?
a) 4 × 103
W b) 4 × 109
W c)
4 × 106 W d)
4 × 10−6 W
Évaluation blanche « type DM 2 »
Même structure
et mêmes compétences que le devoir maison, avec d'autres nombres. Durée
conseillée : 1 h 30. Sans calculatrice pour les exercices 1 à 6. Note sur 20.
|
|
Compétences |
TB |
OA |
EA |
NA |
|
3-A |
Comprendre et utiliser la notation an |
|
|
|
|
|
3-B |
Comprendre et utiliser la notation a−n |
|
|
|
|
|
3-C |
Déterminer le signe de an |
|
|
|
|
|
3-D |
Calculer des expressions à l'aide des propriétés sur les
puissances |
|
|
|
|
|
3-E |
Calculer une expression algébrique contenant des
puissances |
|
|
|
|
|
3-H |
Calculer à l'aide des propriétés sur les puissances de 10 |
|
|
|
|
|
3-I |
Déterminer l'écriture scientifique d'un nombre ou d'une
expression |
|
|
|
|
|
3-J |
Utiliser les préfixes de nano à giga |
|
|
|
|
TB : très bien • OA : objectif atteint mais des erreurs • EA : en cours
d'acquisition • NA : non acquis
Exercice 1 /2,5 (3-A ; 3-B)
1) Calculer et
donner le résultat sous la forme d'un entier ou d'une fraction la plus simple
possible. Détailler.
A = 43 B = (−3)3 C = −52 D = (3/4)2 E = (−2)−4 F = (5/2)−3
2) Écrire
chaque nombre sous la forme an ou (a/b)n avec a, b, n
entiers relatifs. Détailler.
A = 27 B = −8 C = 1/(−32) D = 1/36
Exercice 2 /1,5 (3-C)
Déterminer le
signe des expressions : A = (−7)−6 B = 4−11 C = −240
Exercice 3 /4 (3-D ; 3-H)
Écrire chaque
expression sous la forme 10n, an ou (a/b)n
avec a, b, n entiers relatifs. Détailler.
A = 10−4
× 109 × 10−3
B = (10−3)−5
C = 13−8 / 136 D = (3/8)−5 × (3/8)2
E = (14/9)−2
× (6/7)−2 F = 215
/ 355 G = 6−9
× (6−3)−4 / 6−2 H = 94 × 3−5
Exercice 4 /2 (3-E)
Calculer en
détaillant : A = 50 − 4 × 23 B = (−0,3)2 × 102
− 2 × 42 + (−2)3 × 3
Exercice 5 /3 (3-I)
Donner
l'écriture scientifique : A = 78
400 B = 0,000 52 C = 4 180 × 10−7 D = 0,003 9 × 105
Exercice 6 /3 (3-H ; 3-I)
Calculer et
donner le résultat sous la forme a × 10n ou (a/b) × 10n
(a, b, n entiers relatifs).
A = (2 × 10−3
× 7 × (103)4) / (35 × 10−1) B = (−18 × 10−2 × 5 × (10−2)3)
/ (1012 × 45 × 10−15)
Exercice 7 /2 (3-J)
Le téléphone de
Lucas a une mémoire de 128 Go ; 98 Go sont déjà utilisés.
1)
De quel espace libre dispose-t-il ?
2)
Combien de vidéos de 500 Mo chacune peut-il encore
enregistrer au maximum ?
Exercice 8 /2 (3-J)
En 1971, les
transistors des premiers microprocesseurs mesuraient 10 µm. En 2020, on
fabrique des transistors de 5 nm. Par combien a-t-on divisé la taille des
transistors en 49 ans ? Répondre par une phrase.
Épreuve type brevet 2027
|
ATTENTION — Conditions de l'épreuve •
Durée
totale : 2 h. Partie 1 : 20 min, sans calculatrice, la feuille est
ramassée à la fin. Partie 2 : 1 h 40, calculatrice autorisée. •
Partie
1 : réponses courtes, sans justification. Partie 2 : toutes les réponses
doivent être justifiées ; les essais et démarches, même non aboutis, sont
valorisés. •
Les
questions en gras évaluent aussi la rédaction (2 points de maîtrise de
la langue inclus dans la partie 2). |
Partie 1 — Automatismes (6 points, 20 min)
Chaque bonne
réponse rapporte 0,5 point. Écris uniquement le résultat.
|
N° |
Question |
Réponse |
|
1 |
Calculer 25. |
|
|
2 |
Calculer (−1)2027. |
|
|
3 |
Écrire 5−2 sous forme de fraction. |
|
|
4 |
Écrire 104 × 10−6 sous la forme 10n. |
|
|
5 |
Donner l'écriture scientifique de 0,000 7. |
|
|
6 |
Donner l'écriture décimale de 3,6 × 103. |
|
|
7 |
Calculer 15 % de 80. |
|
|
8 |
Quel est le signe de (−8)9 ? |
|
|
9 |
Combien y a-t-il de nanomètres dans 1 mètre ? (puissance
de 10) |
|
|
10 |
Calculer (2/5)2. |
|
|
11 |
Développer 3(x + 4). |
|
|
12 |
Écrire 6 × 10−1 en écriture décimale. |
|
Partie 2 — Raisonnement (14 points, 1 h 40)
Exercice 1 — La lumière des étoiles (5 points)
La distance
Terre–Soleil est d'environ 1,5 × 108 km. La lumière se déplace à
environ 3 × 105 km/s.
1)
Calculer le temps, en secondes, mis par la lumière du
Soleil pour atteindre la Terre. Convertir ce temps en minutes et secondes.
2)
L'étoile Proxima du Centaure est située à environ 4 ×
1013 km. Calculer le temps mis par sa lumière pour nous parvenir, en
secondes, puis en années (on prendra 1 an ≈ 3,15 × 107 s). Arrondir
au dixième.
3)
Un élève affirme : « Proxima est environ 270 000
fois plus loin de nous que le Soleil. » A-t-il raison ? Justifier par une
phrase.
Exercice 2 — La carte mémoire du photographe (5 points)
Clara est
photographe. Son appareil enregistre des photos de 12 Mo chacune sur une carte
mémoire de 64 Go. On rappelle que 1 Go = 1 000 Mo et 1 Mo = 106
octets.
1)
Combien de photos peut-elle enregistrer au maximum sur
sa carte vide ?
2)
Donner la taille d'une photo en octets, en écriture
scientifique.
3)
Elle utilise une feuille de calcul : la colonne A
contient le nombre de photos, la colonne B la place occupée en Mo, la colonne C
la place occupée en octets. En B2 elle a saisi =A2*12. Quelle formule doit-elle
saisir en C2 ?
|
|
A |
B |
C |
|
1 |
Nombre de photos |
Taille (Mo) |
Taille (octets) |
|
2 |
2 500 |
=A2*12 |
? |
4)
Sa carte contient déjà 2 500 photos. Elle veut
utiliser le reste pour filmer en 4K, ce qui occupe 375 Mo par minute. Combien
de minutes complètes peut-elle filmer ? Rédiger la réponse par une phrase.
Exercice 3 — Dans le monde microscopique (4 points)
Une bactérie Escherichia
coli mesure environ 2 µm de long. Un virus de la grippe mesure environ 100
nm.
1)
Exprimer ces deux longueurs en mètres, en écriture
scientifique.
2)
Combien de fois la bactérie est-elle plus longue que le
virus ?
3)
Un microscope optique permet d'observer des objets
mesurant au moins 0,2 µm. Peut-on observer ce virus au microscope optique ?
Justifier par une phrase.
4)
Combien de bactéries faudrait-il aligner bout à bout
pour obtenir 1 mm ?
Corrigés
Exercices d'entraînement
Exercice 1
A = 5 × 5 = 25 • B
= (−3) × (−3) × (−3) = −27
• C = −(2 × 2 × 2 × 2) = −16 • D
= 32/42 = 9/16
E = 1/(−2)3
= 1/(−8) = −1/8 • F = (2/5)2 = 4/25 • G
= 1 • H = −1 (exposant 15 impair)
Exercice 2
A = 3 × 3 × 3 ×
3 = 34 (ou 92)
• B = (−2) × (−2) × (−2) = (−2)3 • C
= 1/26 = 2−6 (ou 4−3, 8−2)
D = 1/(−5)3
= (−5)−3 • E = 32/72 = (3/7)2 • F
= 1/1 000 = 1/103 = 10−3
Exercice 3
A positif
(base négative, exposant pair) • B négatif (base négative, exposant −5
impair) • C négatif (opposé de 64
> 0)
D positif
(base positive) • E positif ((−4)3 < 0 et
son opposé est > 0) • F négatif (2027 impair)
Exercice 4
A = 103+(−8)+4
= 10−1 • B = 104×(−2) = 10−8 • C
= 7−6−4 = 7−10
• D = (3/5)−4+7 = (3/5)3
E = (9 × 2 / (4
× 3))5 = (18/12)5 = (3/2)5 • F
= (12/36)3 = (1/3)3 (= 3−3)
G = 53
× 5−8 / 5−9 = 53−8+9 = 54 • H
= (32)5 × 3−7 = 310−7 = 33 • I
= (23)2 × 2−5 = 26−5 = 21
(= 2)
Exercice 5
A = 50 − 2 × 27
= 50 − 54 = −4
B = 0,25 × 100
− 4 × 8 + 4 × 3 = 25 − 32 + 12 = 5
C = (−2)3
+ 2 × 1 = −8 + 2 = −6
Exercice 6
A = 5,27 ×
104 • B = 4,8 × 10−4 • C
= 7,2 × 102 × 105 = 7,2 × 107
D = 3,5 × 10−2
× 10−2 = 3,5 × 10−4 • E
= 6 × 10−1
Exercice 7
A = (4 × 6 / 8)
× (105 × 10−6 / 10−4) = 3 × 105−6+4
= 3 × 103
B = (−21 × 5 /
35) × (10−3 × 106 / (108 × 10−6)) =
−3 × 103 / 102 = −3 × 101 (= −30)
Exercice 8
1) 64 − 23 = 41
Go libres.
2) 41 Go = 41
000 Mo ; 41 000 / 4 = 10 250. Elle peut enregistrer au maximum 10 250 photos.
Exercice 9
7 µm = 7 × 10−6
m et 100 nm = 102 × 10−9 = 10−7 m. (7 × 10−6)
/ 10−7 = 7 × 101 = 70.
Le globule
rouge est environ 70 fois plus grand que le virus de la grippe.
Exercice 10
a) 3,2 × 109
Hz • b) 450 × 10−9 = 4,5 × 10−7
m • c) 2,5 × 10−3 g • d)
0,8 × 106 = 8 × 105 octets
Grille de correction du quiz
|
1. a |
11. a |
21. c |
31. c |
41. b |
|
2. b |
12. d |
22. a |
32. b |
42. d |
|
3. b |
13. c |
23. c |
33. a |
43. d |
|
4. d |
14. a |
24. d |
34. b |
44. b |
|
5. b |
15. b |
25. c |
35. a |
45. c |
|
6. b |
16. c |
26. d |
36. a |
46. d |
|
7. c |
17. d |
27. a |
37. b |
47. d |
|
8. d |
18. a |
28. c |
38. d |
48. c |
|
9. a |
19. c |
29. a |
39. a |
49. d |
|
10. b |
20. a |
30. b |
40. b |
50. c |
Barème indicatif : 45–50 maîtrisé • 35–44 à
consolider • moins de 35 : relis les chapitres concernés et refais le quiz dans
2 jours.
Évaluation blanche « type DM 2 »
Exercice 1 (2,5 pts : 0,25 par réponse)
1) A = 4 × 4 × 4 = 64 • B
= −27 • C = −(5 × 5) = −25 • D
= 9/16 • E = 1/(−2)4 = 1/16 • F
= (2/5)3 = 8/125
2) A = 3 × 3 × 3 = 33 • B
= (−2)3 • C = 1/(−2)5 = (−2)−5 • D
= 1/62 = 6−2
Exercice 2 (1,5 pt : 0,5 par réponse)
A positif
(exposant −6 pair) • B positif (base positive) • C négatif
(opposé de 240 > 0)
Exercice 3 (4 pts : 0,5 par réponse)
A = 10−4+9−3
= 102 • B = 10(−3)×(−5) = 1015 • C
= 13−8−6 = 13−14
• D = (3/8)−5+2 = (3/8)−3
E = (14 × 6 /
(9 × 7))−2 = (84/63)−2 = (4/3)−2 • F
= (21/35)5 = (3/5)5
G = 6−9
× 612 / 6−2 = 6−9+12+2 = 65 • H
= (32)4 × 3−5 = 38−5 = 33
Exercice 4 (2 pts)
A = 50 − 4 × 8
= 50 − 32 = 18
B = 0,09 × 100
− 2 × 16 + (−8) × 3 = 9 − 32 − 24 = −47
Exercice 5 (3 pts)
A = 7,84 ×
104 • B = 5,2 × 10−4 • C
= 4,18 × 103 × 10−7 = 4,18 × 10−4 • D
= 3,9 × 10−3 × 105 = 3,9 × 102
Exercice 6 (3 pts)
A = (2 × 7 /
35) × (10−3 × 1012 / 10−1) = (14/35) × 1010
= (2/5) × 1010 (= 4 × 109)
B = (−18 × 5 /
45) × (10−2 × 10−6 / (1012 × 10−15))
= −2 × 10−8 / 10−3 = −2 × 10−5
Exercice 7 (2 pts)
1) 128 − 98 = 30
Go. 2) 30 Go = 30 000 Mo ; 30 000 /
500 = 60. Il peut enregistrer 60 vidéos.
Exercice 8 (2 pts)
10 µm = 10 × 10−6
= 10−5 m ; 5 nm = 5 × 10−9 m. 10−5 / (5 × 10−9)
= 0,2 × 104 = 2 000.
En 49 ans,
la taille des transistors a été divisée par 2 000.
Épreuve type brevet 2027
Partie 1 — Automatismes
|
N° |
Question |
Réponse |
|
1 |
Calculer 25. |
32 |
|
2 |
Calculer (−1)2027. |
−1 |
|
3 |
Écrire 5−2 sous forme de fraction. |
1/25 |
|
4 |
Écrire 104 × 10−6 sous la forme 10n. |
10−2 |
|
5 |
Donner l'écriture scientifique de 0,000 7. |
7 × 10−4 |
|
6 |
Donner l'écriture décimale de 3,6 × 103. |
3 600 |
|
7 |
Calculer 15 % de 80. |
12 |
|
8 |
Quel est le signe de (−8)9 ? |
négatif |
|
9 |
Combien y a-t-il de nanomètres dans 1 mètre ? (puissance
de 10) |
109 |
|
10 |
Calculer (2/5)2. |
4/25 |
|
11 |
Développer 3(x + 4). |
3x + 12 |
|
12 |
Écrire 6 × 10−1 en écriture décimale. |
0,6 |
Partie 2 — Exercice 1 (5 pts)
1) (1,5 pt) t =
1,5 × 108 / (3 × 105) = 0,5 × 103 = 500 s.
500 s = 8 × 60 + 20, soit 8 min 20 s.
2) (1,5 pt) t =
4 × 1013 / (3 × 105) ≈ 1,33 × 108 s. En
années : 1,33 × 108 / (3,15 × 107) ≈ 4,2 ans.
3) (2 pts) 4 ×
1013 / (1,5 × 108) ≈ 2,67 × 105 ≈ 267 000. L'élève
a raison : Proxima est environ 270 000 fois plus éloignée de nous que le Soleil
(environ 267 000 fois exactement).
Partie 2 — Exercice 2 (5 pts)
1) (1 pt) 64 Go
= 64 000 Mo ; 64 000 / 12 ≈ 5 333,3. Elle peut enregistrer au maximum 5 333
photos (on arrondit à l'unité inférieure).
2) (1 pt) 12 Mo
= 12 × 106 octets = 1,2 × 107 octets.
3) (1 pt) =B2*10^6
(ou =B2*1000000, ou =A2*12*10^6).
4) (2 pts)
Place utilisée : 2 500 × 12 = 30 000 Mo. Place restante : 64 000 − 30 000 = 34
000 Mo. 34 000 / 375 ≈ 90,7. Clara peut filmer 90 minutes complètes, soit 1
h 30.
Partie 2 — Exercice 3 (4 pts)
1) (1 pt) 2 µm
= 2 × 10−6 m ; 100 nm = 100 × 10−9 m = 10−7
m (ou 1 × 10−7 m).
2) (1 pt) 2 ×
10−6 / 10−7 = 2 × 101 = 20 fois.
3) (1 pt) 100
nm = 0,1 µm, et 0,1 µm < 0,2 µm. On ne peut donc pas observer ce virus au
microscope optique : il est deux fois trop petit.
4) (1 pt) 1 mm
= 10−3 m ; 10−3 / (2 × 10−6) = 0,5 × 103
= 500 bactéries.
|
À RETENIR — Maîtrise de la langue (2 pts) Dans les questions en gras, on
attend une phrase complète, correctement orthographiée, qui reprend les
termes de la question et la conclusion du calcul (unités comprises). |
Bibliographie et ressources
•
Devoir Maison 2 « Puissances » (document du professeur)
— grille de compétences 3-A à 3-J.
•
Éduscol —
programmes de mathématiques du cycle 4 — programme officiel et ressources
d'accompagnement (puissances, écriture scientifique).
•
Bulletin
officiel de l'Éducation nationale — textes officiels sur le diplôme
national du brevet.
•
Maths et
tiques (Yvan Monka) — cours et vidéos gratuits sur les puissances en 4e et
3e.
•
Lumni — vidéos
éducatives de révision du brevet.
•
BIPM — préfixes du
Système international — référence officielle des préfixes (nano, micro,
méga, giga…).
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