|
MATHÉMATIQUES — CLASSE DE 3e Le théorème de Thalès & La trigonométrie cosinus · sinus · tangente |
|
Dans ce document |
|
Cours
illustré (dans la continuité du cours du professeur : Pythagore et cosinus) ·
14 exercices corrigés pour travailler seul · 7 problèmes · 2 fiches de
révision express · 10 exercices de type brevet corrigés avec barème · quiz de
50 questions · épreuve complète au format brevet 2027 avec corrigé |
Conforme aux modalités du DNB — session
2027
Épreuve sur 20 · automatismes sans
calculatrice · pas de QCM · 2 points de maîtrise de la langue
Méthode BPS-E — Découverte · Lecture
active · Quiz · Cartes Leitner
Sommaire
Introduction — Objectifs et mode d'emploi.......... 3
PARTIE A — Le théorème de Thalès....................... 4
A1. Rappels utiles : proportionnalité et produit en croix.......................................................................... 4
A2. La configuration de Thalès................................. 4
A3. Calculer une longueur dans un triangle............. 5
A4. Calculer une longueur dans la configuration papillon..................................................................... 6
A5. Démontrer que deux droites sont — ou ne sont pas —
parallèles....................................................... 7
A6. Je travaille seul — exercices corrigés................. 9
A7. Problèmes pour travailler seul......................... 11
A8. Fiche de révision express — Thalès................. 13
A9. Cinq exercices de type brevet — Thalès.......... 14
PARTIE B — Trigonométrie.................................. 17
B1. Vocabulaire du triangle rectangle.................... 17
B2. Cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu...... 18
B3. Calculer la longueur d'un côté.......................... 18
B4. Déterminer la mesure d'un angle..................... 20
B5. Quelle formule choisir ?................................... 21
B6. Je travaille seul — exercices corrigés............... 22
B7. Problèmes pour travailler seul......................... 24
B8. Fiche de révision express — Trigonométrie..... 26
B9. Cinq exercices de type brevet — Trigonométrie................................................................................ 27
PARTIE C — S'évaluer........................................... 31
C1. Quiz de 50 questions........................................ 31
C2. Épreuve classique du brevet — sujet type session 2027........................................................... 36
Corrigé et barème de l'épreuve............................. 39
Bibliographie et sources....................................... 41
Introduction — Objectifs et mode d'emploi
Ton
professeur a relié deux chapitres : il a commencé par des rappels
(théorème de Pythagore, sa réciproque et sa contraposée, puis le cosinus
pour calculer une longueur ou un angle). Ce document prolonge exactement ce
travail : on étudie le théorème de Thalès, construit sur la même logique
(« si… alors… », réciproque, contraposée), puis on complète la trigonométrie
avec le sinus et la tangente.
|
Partie |
Je saurai… |
|
A
— Thalès |
calculer
une longueur dans un triangle (configuration emboîtée) · calculer une
longueur dans la configuration papillon · démontrer que deux droites sont ou
ne sont pas parallèles |
|
B — Trigonométrie |
connaître le cosinus, le sinus et la
tangente d'un angle aigu · calculer la longueur d'un côté d'un triangle
rectangle · déterminer la mesure d'un angle d'un triangle rectangle |
|
C
— S'évaluer |
réussir
un quiz de 50 questions · traiter une épreuve complète au format brevet 2027 |
Brevet 2027
Ce qui
change pour toi au brevet 2027
•
La note finale est sur 20 : épreuves écrites 60
%, contrôle continu de 3e 40 % ; le brevet est obtenu à partir de 10/20.
•
Mathématiques : 2 heures, coefficient 2. Partie
1 « automatismes » : 20 min, 6 points, sans calculatrice, réponses
courtes, copie ramassée à la fin. Partie 2 « raisonnement » : 1 h 40, 14
points, calculatrice autorisée.
•
Plus de QCM dans les sujets : il faut rédiger
et justifier. Plus de liste officielle d'automatismes : tout le cycle 4
peut être mobilisé en partie 1.
•
Maîtrise de la langue : au moins 2 points dans
chaque épreuve écrite, y compris en mathématiques (orthographe, syntaxe,
vocabulaire, organisation du raisonnement) — surtout sur les questions en
gras.
•
Pythagore, Thalès et la trigonométrie font partie des
exercices « incontournables » : bien les maîtriser sécurise des points.
Comment travailler avec ce document (cycle
BPS-E en 4 étapes)
|
Étape |
Ce que je fais |
Durée |
|
1.
Découverte |
Je
lis une section du cours et j'observe les figures. |
1
Pomodoro (25 min) |
|
2. Lecture active |
Je reformule par écrit chaque encadré «
À retenir » avant de l'expliquer à voix haute. |
1 Pomodoro |
|
3.
Quiz immédiat |
Je
fais les exercices « Je travaille seul » puis les questions du quiz
correspondantes. |
1
Pomodoro |
|
4. Cartes Leitner |
Je transforme chaque erreur et chaque
encadré clé en carte (recto : question, verso : réponse). |
10 min |
Les
encadrés : 📘 Définition · ⭐ À retenir · ⚠️ Attention · 🔎
Exemple · 🛠️ Méthode · ✏️ Exercice résolu · ✅ Corrigé · 🖊️
Rédaction modèle · 👩🏫 Dans le cours de ton professeur.
PARTIE A — Le théorème de Thalès
Objectifs
de la partie A. À la fin de cette partie, tu sais : ① calculer une longueur
avec le théorème de Thalès dans un triangle (configuration « emboîtée ») ; ②
calculer une longueur avec le théorème de Thalès dans la configuration «
papillon » ; ③ démontrer que deux droites sont parallèles (réciproque) ou ne
sont pas parallèles (contraposée).
Dans le cours de ton professeur
Ton
professeur a organisé les rappels de Pythagore en trois temps que l'on retrouve
ici à l'identique pour Thalès : Configuration (dans quelle figure
s'applique le théorème ?), Utilisation (à quoi il sert ?), puis Rédaction
(comment l'écrire sur la copie). Pour la réciproque, il utilise la même logique
en 3 étapes : on calcule, on compare, on conclut — si oui → réciproque, si
non → contraposée. C'est exactement la même structure pour Thalès.
A1. Rappels utiles : proportionnalité et produit en croix
Le théorème
de Thalès est une situation de proportionnalité : les longueurs du petit
triangle sont proportionnelles à celles du grand. Il faut donc savoir résoudre
une égalité de deux quotients.
À retenir — Le produit en croix
Si a / b = c
/ d (avec b ≠ 0 et d ≠ 0), alors a × d = b × c (égalité des produits en
croix).
Pour trouver
une valeur inconnue : on multiplie les deux nombres « en diagonale » connus,
puis on divise par le troisième.
4 / 10 = x / 7 donc
x = (4 × 7) / 10 = 2,8
Attention
Pour comparer
deux quotients (réciproque / contraposée), ne compare pas des valeurs arrondies
! 0,4166… et 0,4285… arrondis au dixième donnent tous les deux 0,4, mais les
quotients ne sont pas égaux. Utilise les produits en croix ou les valeurs
exactes.
A2. La configuration de Thalès
Configuration
: deux droites sécantes en un point, coupées par deux droites parallèles.
On obtient deux triangles « semblables » : l'un est un agrandissement ou une
réduction de l'autre.
Utilisation
: le théorème de Thalès permet de calculer une longueur ; sa
réciproque permet de démontrer que deux droites sont parallèles ; sa
contraposée de démontrer qu'elles ne le sont pas.
Configuration
« emboîtée » (triangles imbriqués)
Configuration
« papillon » (triangles opposés par le sommet)
Définition — Le théorème de Thalès
Soient deux
droites (d) et (d') sécantes en A. Soient B et M deux points de (d), C et N
deux points de (d'), distincts de A.
Si les
droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors :
AM / AB = AN / AC = MN /
BC
Astuce :
au numérateur, les côtés du petit triangle AMN ; au dénominateur, les
côtés correspondants du grand triangle ABC. Chaque quotient compare deux
côtés « qui se regardent ».
Méthode — Associer les bons côtés
Écris d'abord
les deux triangles l'un sous l'autre, lettre sous lettre :
petit triangle : A
M N
grand triangle : A
B C
Puis lis les
côtés deux à deux : AM avec AB, AN avec AC, MN avec BC. Tu ne peux plus te
tromper d'ordre.
A3. Calculer une longueur dans un triangle
Configuration
: triangle ABC, M sur [AB], N sur [AC] et (MN) // (BC).
Méthode — « Connue / objectif » comme
dans le cours
1.
Je vérifie la configuration : points alignés
+ droites parallèles (l'énoncé doit le dire ou le prouver).
2.
J'écris l'égalité des trois quotients.
3.
Je remplace par les longueurs connues
et j'entoure mentalement l'objectif.
4.
Je choisis le quotient complet (deux valeurs
connues) et je fais un produit en croix.
5.
Je conclus par une phrase avec l'unité (et
l'arrondi demandé).
Exercice résolu — Configuration emboîtée
Sur la
figure, les droites (MN) et (BC) sont parallèles. AM = 4 cm, AB = 10 cm, AC = 7
cm et BC = 8 cm.
Calculer
AN et MN.
Analyse :
AM / AB = 4 / 10 est complet (connu / connu) → on peut calculer AN et
MN.
Rédaction modèle
Dans le
triangle ABC, les points A, M, B sont alignés, les points A, N, C sont alignés
et les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
D'après le théorème
de Thalès : AM / AB = AN / AC = MN /
BC soit 4 / 10 = AN / 7 = MN / 8
AN = (4 × 7)
/ 10 = 2,8 cm MN = (4 ×
8) / 10 = 3,2 cm
Attention
MB n'apparaît
jamais dans l'égalité de Thalès ! Les quotients utilisent toujours les
côtés entiers des triangles, qui partent du sommet commun A. Si l'énoncé
donne MB, calcule d'abord AB = AM + MB.
A4. Calculer une longueur dans la configuration papillon
Configuration
: les droites (AD) et (BE) se coupent en C ; les droites (AB) et (DE) sont
parallèles. Les deux triangles CAB et CDE sont « opposés par le sommet » C.
Exercice résolu — Configuration papillon
Les points A,
C, D sont alignés ; les points B, C, E sont alignés ; (AB) // (DE).
CA = 3 cm ;
CD = 5 cm ; CE = 6 cm ; AB = 4,2 cm.
Calculer
CB et DE.
Triangles en
correspondance : C A B ↔ C
D E.
Rédaction modèle
Les droites
(AD) et (BE) sont sécantes en C et les droites (AB) et (DE) sont parallèles.
D'après le théorème
de Thalès : CA / CD = CB / CE = AB /
DE soit 3 / 5 = CB / 6 = 4,2 / DE
CB = (3 × 6)
/ 5 = 3,6 cm DE = (5 ×
4,2) / 3 = 7 cm
Attention
Quand
l'inconnue est au dénominateur (ici DE), on fait quand même un produit
en croix : 3 × DE = 5 × 4,2, donc DE = 21 ÷ 3 = 7. On ne « retourne » pas la
fraction au hasard.
A5. Démontrer que deux droites sont — ou ne sont pas — parallèles
Utilisation
: la réciproque et la contraposée du théorème de Thalès servent à savoir si
deux droites sont parallèles à partir des longueurs. La démarche est la
même que celle de ton professeur pour Pythagore : on calcule séparément, on
compare, on conclut.
Méthode — Réciproque ou contraposée ?
Stratégie en 3 temps
1.
Je calcule séparément les deux
quotients qui partent du sommet commun (sans utiliser la 3e égalité, qui
contient le côté qu'on étudie).
2.
Je compare : produits en croix ou
valeurs exactes.
3.
Si les quotients sont égaux et que
les points sont alignés dans le même ordre → réciproque : les droites
sont parallèles.
4.
Si les quotients sont différents →
contraposée : les droites ne sont pas parallèles.
Définition — Réciproque et contraposée
du théorème de Thalès
Réciproque
: si les points A, M, B d'une part et A, N, C d'autre part sont alignés dans
le même ordre, et si AM / AB = AN / AC, alors les droites (MN) et
(BC) sont parallèles.
Contraposée
: si AM / AB ≠ AN / AC, alors les droites (MN) et (BC) ne sont pas
parallèles.
Exercice résolu — Les droites sont
parallèles
Les points O,
C, A sont alignés, ainsi que les points O, D, B, dans cet ordre.
Les
droites (CD) et (AB) sont-elles parallèles ?
Rédaction modèle
D'une part :
OC / OA = 3 / 7,5 = 0,4. D'autre
part : OD / OB = 4 / 10 = 0,4.
On constate
que OC / OA = OD / OB ; de plus, les points O, C, A et O, D, B sont alignés
dans le même ordre.
Donc, d'après
la réciproque du théorème de Thalès, les droites (CD) et (AB) sont parallèles.
Exercice résolu — Les droites ne sont
pas parallèles
Même figure,
mais OE = 2,5 cm ; OA = 6 cm ; OF = 3 cm ; OB = 7 cm (E sur [OA], F sur [OB]). Les
droites (EF) et (AB) sont-elles parallèles ?
Rédaction modèle
On compare OE
/ OA = 2,5 / 6 et OF / OB = 3 / 7 avec les produits en croix :
2,5 × 7 =
17,5 et 6 × 3 = 18. Comme 17,5 ≠ 18, on a OE / OA ≠ OF / OB.
Donc, d'après
la contraposée du théorème de Thalès, les droites (EF) et (AB) ne
sont pas parallèles.
Remarque :
2,5 / 6 ≈ 0,417 et 3 / 7 ≈ 0,429 : arrondis au dixième, les deux donnent 0,4 !
D'où l'importance des produits en croix.
A6. Je travaille seul — exercices corrigés
Fais une
figure à main levée pour chaque exercice, rédige entièrement, puis seulement
lis le corrigé (cache-le avec une feuille). Compte environ 1 Pomodoro (25 min)
pour les six exercices.
Exercice 1
RST est un triangle ; U ∈ [RS] et V ∈ [RT], avec (UV) // (ST). RU = 2 cm
; RS = 5 cm ; RT = 7,5 cm ; ST = 6 cm. Calculer RV et UV.
Corrigé
Les points R,
U, S et R, V, T sont alignés et (UV) // (ST). D'après le théorème de Thalès :
RU / RS = RV / RT = UV / ST, soit 2 / 5 = RV / 7,5 = UV / 6.
RV = (2 ×
7,5) / 5 = 3 cm ; UV = (2 × 6) /
5 = 2,4 cm.
Exercice 2
Les points K, O, M sont alignés, ainsi que L, O, N. Les droites (KL) et
(MN) sont parallèles. OK = 4 cm ; OM = 6 cm ; OL = 5 cm ; MN = 9 cm. Calculer
ON et KL.
Corrigé
Configuration
papillon : (KM) et (LN) sécantes en O, (KL) // (MN). D'après le théorème de
Thalès : OK / OM = OL / ON = KL / MN, soit 4 / 6 = 5 / ON = KL / 9.
ON = (6 × 5)
/ 4 = 7,5 cm ; KL = (4 × 9) / 6 =
6 cm.
Exercice 3
EFG est un triangle ; H ∈ [EF] et I ∈ [EG], avec (HI) // (FG). EH = 3,5
cm ; HI = 2,8 cm ; FG = 8,4 cm. Calculer EF, puis HF.
Corrigé
D'après le
théorème de Thalès : EH / EF = EI / EG = HI / FG, soit 3,5 / EF = 2,8 / 8,4.
Produit en
croix : 2,8 × EF = 3,5 × 8,4 donc EF = 29,4 / 2,8 = 10,5 cm.
H ∈ [EF] donc
HF = EF − EH = 10,5 − 3,5 = 7 cm.
Exercice 4
Les points A, M, B sont alignés dans cet ordre, ainsi que A, N, C. AM =
2,1 cm ; AB = 3,5 cm ; AN = 2,7 cm ; AC = 4,5 cm. Les droites (MN) et (BC)
sont-elles parallèles ?
Corrigé
AM / AB = 2,1
/ 3,5 = 0,6 et AN / AC = 2,7 / 4,5 = 0,6 (vérification : 2,1 × 4,5 = 9,45 et
3,5 × 2,7 = 9,45).
Les quotients
sont égaux et les points sont alignés dans le même ordre : d'après la réciproque
du théorème de Thalès, (MN) // (BC).
Exercice 5
Les points O, P, Q sont alignés dans cet ordre, ainsi que O, M, S. OP =
3 cm ; OQ = 8 cm ; OM = 4 cm ; OS = 10 cm. Les droites (PM) et (QS)
sont-elles parallèles ?
Corrigé
On compare OP
/ OQ = 3 / 8 et OM / OS = 4 / 10 : 3 × 10 = 30 et 8 × 4 = 32.
30 ≠ 32 donc
OP / OQ ≠ OM / OS : d'après la contraposée du théorème de Thalès, les
droites (PM) et (QS) ne sont pas parallèles.
Exercice 6
Les points D, O, F sont alignés dans cet ordre ; les points E, O, G
aussi. OD = 2,4 cm ; OF = 4 cm ; OE = 3 cm ; OG = 5 cm. Montrer que (DE) //
(FG).
Corrigé
OD / OF = 2,4
/ 4 = 0,6 et OE / OG = 3 / 5 = 0,6 : les quotients sont égaux.
Les points D,
O, F et E, O, G sont alignés dans le même ordre (O est « entre » les deux
points à chaque fois) : d'après la réciproque du théorème de Thalès, (DE)
// (FG).
A7. Problèmes pour travailler seul
Problème 1 — La hauteur de l'arbre
Pour mesurer
la hauteur d'un arbre, Tom plante un bâton vertical [SB] de 1,5 m. L'extrémité
de l'ombre du bâton coïncide avec celle de l'ombre de l'arbre, au point O. Il
mesure OS = 2 m et OT = 12 m. Le bâton et l'arbre sont verticaux. Quelle est
la hauteur TA de l'arbre ?
Corrigé
Le bâton et
l'arbre sont tous deux perpendiculaires au sol : or, si deux droites sont
perpendiculaires à une même droite, elles sont parallèles. Donc (SB) // (TA).
Les points O,
S, T sont alignés, les points O, B, A aussi. D'après le théorème de Thalès : OS
/ OT = SB / TA, soit 2 / 12 = 1,5 / TA.
TA = (12 ×
1,5) / 2 = 9 m. L'arbre mesure 9 m de haut.
Problème 2 — La largeur de la rivière
Pour
connaître la largeur DF d'une rivière sans la traverser, on repère les points
ci-dessus : C, O, D sont alignés ; E, O, F sont alignés ; (CE) // (DF). On
mesure OC = 15 m, CE = 12 m et OD = 40 m. Calculer DF.
Corrigé
Configuration
papillon : (CD) et (EF) sécantes en O, (CE) // (DF). D'après le théorème de
Thalès : OC / OD = OE / OF = CE / DF, soit 15 / 40 = 12 / DF.
DF = (40 ×
12) / 15 = 32 m.
Problème 3 — L'escabeau est-il sûr ?
Un escabeau
est représenté par les segments [SA] et [SB]. Une barre de sécurité [MN] relie
les deux montants avec M ∈ [SA] et N ∈ [SB]. SA = 2,00 m ; SM = 1,40 m ; SB =
1,80 m ; SN = 1,26 m.
1) La
barre [MN] est-elle parallèle au segment [AB] ?
2)
L'écartement au sol est AB = 1,20 m. Calculer la longueur de la barre MN.
Corrigé
1) SM / SA =
1,40 / 2,00 et SN / SB = 1,26 / 1,80. Produits en croix : 1,40 × 1,80 = 2,52 et
2,00 × 1,26 = 2,52. Les quotients sont égaux (tous deux valent 0,7) et S, M, A
et S, N, B sont alignés dans le même ordre : d'après la réciproque du théorème
de Thalès, (MN) // (AB).
2) Comme (MN)
// (AB), le théorème de Thalès donne SM / SA = MN / AB, soit 0,7 = MN / 1,20,
donc MN = 0,7 × 1,20 = 0,84 m.
A8. Fiche de révision express — Thalès
|
Je veux… |
J'utilise… |
J'écris… |
|
calculer
une longueur |
le
théorème de Thalès (il faut des droites parallèles) |
AM
/ AB = AN / AC = MN / BC, puis produit en croix |
|
montrer que deux droites SONT
parallèles |
la réciproque (quotients égaux +
même ordre) |
« … donc d'après la réciproque du
théorème de Thalès, (MN) // (BC) » |
|
montrer
qu'elles ne sont PAS parallèles |
la
contraposée (quotients différents) |
«
… donc d'après la contraposée du théorème de Thalès, (MN) et (BC) ne sont pas
parallèles » |
À retenir — L'essentiel en 6 points
•
Deux configurations : emboîtée (triangles
imbriqués) et papillon (triangles opposés par le sommet).
•
Numérateurs = petit triangle, dénominateurs = grand
triangle, côtés correspondants.
•
Les quotients partent toujours du sommet commun
: MB ou NC n'y apparaissent jamais.
•
Pour comparer deux quotients : produits en croix,
jamais des valeurs arrondies.
•
Le coefficient k = AM / AB est le coefficient de réduction
(k < 1) ; les aires sont multipliées par k².
•
Toujours une phrase de conclusion avec l'unité :
en 2027, la maîtrise de la langue vaut au moins 2 points.
Attention — Les 3 erreurs qui coûtent
des points
•
Oublier de citer les parallèles avant d'appliquer le
théorème.
•
Utiliser le théorème (et non la réciproque) pour
prouver un parallélisme — c'est un raisonnement circulaire.
•
Oublier l'ordre des points dans la réciproque.
Cartes
Leitner à fabriquer (recto → verso) : « Égalité de Thalès ? » → AM / AB =
AN / AC = MN / BC · « Prouver un parallélisme ? » → réciproque + même ordre · «
Prouver un non-parallélisme ? » → contraposée · « Réduction de coefficient k :
les aires ? » → multipliées par k².
A9. Cinq exercices de type brevet — Thalès
Brevet 2027
Ces exercices
sont au format de la partie 2 de l'épreuve de mathématiques
(raisonnement et résolution de problèmes, calculatrice autorisée). Conformément
aux textes de la session 2027 : pas de QCM, toutes les réponses
doivent être justifiées, les essais et démarches même non aboutis sont
valorisés, et les questions en gras marquées ✎ servent plus
particulièrement à évaluer la maîtrise de la langue (phrase complète,
vocabulaire juste, raisonnement organisé).
Exercice 1 (4 points)
ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 6 cm et AC = 8 cm. M est
le point de [AB] tel que BM = 4,5 cm et N est le point de [BC] tel que BN = 7,5
cm.
1) Calculer BC.
2) Montrer que les droites (MN) et (AC) sont parallèles.
3) Calculer MN.
4) ✎ Expliquer pourquoi le triangle BMN est rectangle, en rédigeant
une réponse complète.
Corrigé — et barème
1) (1 pt) ABC
est rectangle en A ; d'après le théorème de Pythagore : BC² = AB² + AC² = 36 +
64 = 100, donc BC = √100 = 10 cm.
2) (1 pt) BM
/ BA = 4,5 / 6 = 0,75 et BN / BC = 7,5 / 10 = 0,75. Les quotients sont égaux et
B, M, A et B, N, C sont alignés dans le même ordre : d'après la réciproque du
théorème de Thalès, (MN) // (AC).
3) (1 pt)
D'après le théorème de Thalès : MN / AC = 0,75 donc MN = 0,75 × 8 = 6 cm.
4) (1 pt) Les
droites (MN) et (AC) sont parallèles et (AC) est perpendiculaire à (AB). Or, si
deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'une est
perpendiculaire à l'autre : (MN) est perpendiculaire à (AB), donc le triangle
BMN est rectangle en M. (Vérification possible : BM² + MN² = 20,25 + 36
= 56,25 = 7,5².)
Exercice 2 (3 points)
Les droites (ET) et (SU) se coupent en O. On donne OE = 5,4 cm ; OT =
7,2 cm ; OS = 4,5 cm ; OU = 6,2 cm.
1) Les droites (ES) et (TU) sont-elles parallèles ? Justifier.
2) ✎ Quelle longueur aurait-il fallu donner à OU pour que les droites
soient parallèles ? Expliquer la démarche.
Corrigé — et barème
1) (1,5 pt)
On compare OE / OT = 5,4 / 7,2 et OS / OU = 4,5 / 6,2 : 5,4 × 6,2 = 33,48 et
7,2 × 4,5 = 32,4. Comme 33,48 ≠ 32,4, les quotients sont différents : d'après
la contraposée du théorème de Thalès, (ES) et (TU) ne sont pas parallèles.
2) (1,5 pt)
Pour qu'elles soient parallèles (points dans le même ordre), il faut OE / OT =
OS / OU, soit 5,4 / 7,2 = 4,5 / OU. Donc OU = (7,2 × 4,5) / 5,4 = 6 cm.
Il aurait fallu OU = 6 cm (et non 6,2 cm).
Exercice 3 (4 points)
Le terrain de M. Martin a la forme du triangle ABC ci-dessus. Il veut
séparer un potager (le quadrilatère DBCE) par une allée [DE] parallèle à [BC].
On donne : AB = 40 m ; AC = 30 m ; BC = 35 m ; AD = 24 m. D ∈ [AB], E ∈ [AC].
1) Calculer la longueur DE de l'allée.
2) Calculer AE, puis EC.
3) Le potager doit être entièrement clôturé (côtés [DB], [BC], [CE] et
[ED]). Le grillage est vendu en rouleaux de 10 m à 69 € le rouleau. ✎ Combien
M. Martin va-t-il dépenser ? Justifier la démarche.
Corrigé — et barème
1) (1 pt)
(DE) // (BC), D ∈ [AB], E ∈ [AC] : d'après le théorème de Thalès, AD / AB = AE
/ AC = DE / BC, soit 24 / 40 = AE / 30 = DE / 35. DE = (24 × 35) / 40 = 21 m.
2) (1 pt) AE
= (24 × 30) / 40 = 18 m, donc EC = 30 − 18 = 12 m.
3) (2 pts) DB
= 40 − 24 = 16 m. Périmètre à clôturer : 16 + 35 + 12 + 21 = 84 m. Il faut 84 ÷
10 = 8,4 rouleaux, soit 9 rouleaux (on ne peut pas acheter une partie de
rouleau). Coût : 9 × 69 = 621 €.
Exercice 4 (3 points)
SAB est un triangle ; M ∈ [SA] et N ∈ [SB], avec (MN) // (AB). SM = 3 cm
; SA = 7,5 cm ; AB = 6 cm. L'aire du triangle SAB est 25 cm².
1) Justifier que le triangle SMN est une réduction du triangle SAB et
donner le coefficient de réduction.
2) Calculer MN.
3) Calculer l'aire du triangle SMN.
4) ✎ Léa affirme : « Si on divise toutes les longueurs par 2,5, on
divise aussi l'aire par 2,5. » A-t-elle raison ? Argumenter.
Corrigé — et barème
1) (0,75 pt)
(MN) // (AB) donc, d'après le théorème de Thalès, les longueurs de SMN sont
proportionnelles à celles de SAB : SMN est une réduction de SAB de coefficient
k = SM / SA = 3 / 7,5 = 0,4.
2) (0,75 pt)
MN = 0,4 × 6 = 2,4 cm.
3) (0,75 pt)
Dans une réduction de coefficient k, les aires sont multipliées par k² : 0,4² ×
25 = 0,16 × 25 = 4 cm².
4) (0,75 pt)
Léa a tort : diviser les longueurs par 2,5 revient à les multiplier par 0,4 ;
l'aire est alors multipliée par 0,4² = 0,16, c'est-à-dire divisée par 6,25
(25 ÷ 4 = 6,25), et non par 2,5.
Exercice 5 (4 points)
Une chaise pliante est schématisée ci-dessus. Les pieds [AD] et [BE] se
croisent en O. OA = 45 cm ; OD = 30 cm ; OB = 54 cm ; OE = 36 cm. Le sol est
représenté par la droite (DE).
1) ✎ L'assise [AB] est-elle parallèle au sol ? Rédiger la
démonstration.
2) L'écartement des pieds au sol est DE = 40 cm. Calculer la largeur AB
de l'assise.
3) Le fabricant veut une assise d'au moins 55 cm de large. La chaise
convient-elle ?
Corrigé — et barème
1) (2 pts)
Les points A, O, D et B, O, E sont alignés dans le même ordre. OA / OD = 45 /
30 et OB / OE = 54 / 36 : 45 × 36 = 1 620 et 30 × 54 = 1 620. Les quotients
sont égaux (tous deux valent 1,5) : d'après la réciproque du théorème de
Thalès, (AB) // (DE) ; l'assise est parallèle au sol.
2) (1 pt)
D'après le théorème de Thalès : OA / OD = AB / DE, soit 1,5 = AB / 40, donc AB
= 60 cm.
3) (1 pt) 60
cm ≥ 55 cm : la chaise convient.
PARTIE B — Trigonométrie
Objectifs
de la partie B. À la fin de cette partie, tu sais : ① connaître le cosinus,
le sinus et la tangente d'un angle aigu ; ② calculer la longueur d'un côté d'un
triangle rectangle ; ③ déterminer la mesure d'un angle d'un triangle rectangle.
Dans le cours de ton professeur
Ton
professeur a déjà revu le cosinus (Activités 3 et 4) avec deux outils
que l'on garde ici : l'étiquetage « connue / objectif » de chaque
longueur dans la formule, et le raisonnement en plusieurs étapes quand
une longueur manque (passer par l'autre angle aigu, ou par le théorème de
Pythagore). On ajoute maintenant le sinus et la tangente, qui
évitent souvent ces étapes intermédiaires.
Rappel
calculatrice (cours du professeur) : cos(30°) ≈ 0,87 ; pour retrouver
l'angle dont le cosinus vaut 0,45, on tape 2nde (ou SHIFT) puis cos
: arccos(0,45) ≈ 63°.
B1. Vocabulaire du triangle rectangle
Configuration
: la trigonométrie du collège s'applique uniquement dans un triangle
rectangle, et concerne ses deux angles aigus.
Pour
l'angle AB̂C
Pour
l'angle AĈB
Définition — Hypoténuse, côté adjacent,
côté opposé
•
L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit
: c'est le plus long côté. Elle ne change jamais.
•
Le côté adjacent à un angle aigu est le côté de
l'angle droit qui « touche » cet angle.
•
Le côté opposé à un angle aigu est le côté de
l'angle droit qui lui fait face.
Attention
« Adjacent »
et « opposé » dépendent de l'angle choisi : sur les figures ci-dessus,
[AB] est adjacent à AB̂C mais opposé à AĈB. Avant toute formule, repère
l'angle et nomme les trois côtés par rapport à lui.
B2. Cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu
Définition — Les trois rapports
trigonométriques
Dans un
triangle rectangle, pour un angle aigu :
cos(angle) = (côté
adjacent) / hypoténuse sin(angle)
= (côté opposé) / hypoténuse
tan(angle) = (côté opposé) / (côté adjacent)
Dans le
triangle ABC rectangle en A (figure de gauche) :
cos(AB̂C) = AB / BC sin(AB̂C) = AC / BC tan(AB̂C) = AC / AB
À retenir — Le moyen mnémotechnique
SOH – CAH
– TOA : Sinus = Opposé / Hypoténuse ; Cosinus =
Adjacent / Hypoténuse ; Tangente = Opposé / Adjacent.
Version
française : « CAH-SOH-TOA » se prononce « casse-toi » ! 😉
À retenir — Propriétés
•
Pour un angle aigu, 0 < cos < 1 et 0
< sin < 1 (l'hypoténuse est le plus grand côté, au dénominateur).
•
La tangente peut prendre n'importe quelle valeur
positive (elle dépasse 1 si l'angle dépasse 45°).
•
Ce sont des nombres sans unité : un quotient de
deux longueurs dans la même unité.
•
Calculatrice en mode degrés (DEG) — vérifie :
cos(60°) doit donner 0,5.
|
Angle |
30° |
45° |
60° |
|
cos |
≈ 0,87 |
≈ 0,71 |
0,5 |
|
sin |
0,5 |
≈ 0,71 |
≈ 0,87 |
|
tan |
≈ 0,58 |
1 |
≈ 1,73 |
B3. Calculer la longueur d'un côté
Utilisation
: on connaît un angle aigu et une longueur ; on cherche une
autre longueur.
Méthode — Choisir la bonne formule
1.
Je repère l'angle connu et je nomme les
côtés : hypoténuse, adjacent, opposé.
2.
Je choisis la formule qui contient la
longueur connue et l'objectif (comme dans le cours : j'étiquette
« connue » / « objectif »).
3.
J'écris l'égalité, je remplace, je fais un
produit en croix.
4.
Je calcule à la calculatrice (mode degrés)
et j'arrondis comme demandé.
Exercice résolu — Inconnue au numérateur
DEF est
rectangle en E ; DF = 8 cm ; ED̂F = 35°. Calculer DE, arrondi au centième.
Pour l'angle
ED̂F : DF est l'hypoténuse (connue), DE est le côté adjacent (objectif)
→ cosinus.
Rédaction modèle
Dans le
triangle DEF rectangle en E : cos(ED̂F)
= DE / DF soit cos(35°) = DE / 8
DE = 8 ×
cos(35°) ≈ 6,55 cm
Pour aller
plus loin : EF = 8 × sin(35°) ≈ 4,59 cm (sinus, car EF est opposé à
l'angle).
Exercice résolu — Inconnue au
dénominateur
KLM est
rectangle en L ; KL = 5 cm ; LK̂M = 40°. Calculer KM, arrondi au centième.
KL est
adjacent (connu) ; KM est l'hypoténuse (objectif) → cosinus,
mais l'inconnue est au dénominateur (comme FG dans l'exemple 1 de ton
professeur).
Rédaction modèle
Dans le
triangle KLM rectangle en L : cos(LK̂M)
= KL / KM soit cos(40°) / 1 = 5 / KM
KM = (5 × 1)
/ cos(40°) = 5 / cos(40°) ≈ 6,53 cm
Exercice résolu — Avec la tangente
PQR est
rectangle en P ; PQ = 7 cm ; PQ̂R = 28°. Calculer PR, arrondi au centième.
PQ est
adjacent (connu), PR est opposé (objectif) : l'hypoténuse
n'intervient pas → tangente.
Rédaction modèle
Dans le
triangle PQR rectangle en P : tan(PQ̂R)
= PR / PQ soit tan(28°) = PR / 7
PR = 7 ×
tan(28°) ≈ 3,72 cm
Attention
L'hypoténuse
est toujours le plus grand côté : si tu trouves une hypoténuse plus
petite qu'un autre côté, tu as multiplié au lieu de diviser (ou l'inverse).
C'est un excellent contrôle de ton résultat.
B4. Déterminer la mesure d'un angle
Utilisation
: on connaît deux longueurs ; on cherche un angle aigu. On calcule
le rapport, puis on utilise la touche arccos (cos⁻¹), arcsin
(sin⁻¹) ou arctan (tan⁻¹) — souvent 2nde ou SHIFT puis cos
/ sin / tan.
Exercice résolu — Un angle, trois
chemins
STU est
rectangle en T ; ST = 6 cm ; TU = 8 cm ; SU = 10 cm. Déterminer TŜU au
degré près.
Pour l'angle
TŜU : ST adjacent, TU opposé, SU hypoténuse. Les trois formules sont possibles
!
Rédaction modèle
Dans le
triangle STU rectangle en T : cos(TŜU)
= ST / SU = 6 / 10 = 0,6
TŜU =
arccos(0,6) ≈ 53°
|
Avec le sinus |
Avec la tangente |
|
sin(TŜU)
= 8 / 10 = 0,8 ; arcsin(0,8) ≈ 53° |
tan(TŜU)
= 8 / 6 ; arctan(8 / 6) ≈ 53° |
Les trois
formules donnent le même angle : on choisit celle qui utilise les longueurs
données par l'énoncé (pas des longueurs arrondies calculées avant).
À retenir
Dans un
triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires : leur
somme vaut 90°. Ici TÛS ≈ 90° − 53° = 37°. C'est la méthode de l'exemple 2 de
ton professeur (Activité 3).
B5. Quelle formule choisir ?
|
Je connais / je cherche… |
hypoténuse |
côté adjacent |
côté opposé |
|
hypoténuse |
— |
cos |
sin |
|
côté adjacent |
cos |
— |
tan |
|
côté opposé |
sin |
tan |
— |
Méthode — La technique du côté barré
Je barre
le côté qui ne sert à rien (ni connu, ni cherché). S'il reste : adjacent +
hypoténuse → CAH ; opposé + hypoténuse → SOH ; opposé + adjacent
→ TOA.
S'il ne reste
qu'un côté connu sans angle et deux côtés connus → c'est Pythagore
qui donne le troisième côté.
B6. Je travaille seul — exercices corrigés
Fais une
figure à main levée, code l'angle droit, colorie l'angle étudié, nomme les
trois côtés avant de calculer. Compte 1 Pomodoro pour les exercices 1 à
5, un second pour 6 à 8.
Exercice 1
MNP est un triangle rectangle en N. Écrire cos(NM̂P), sin(NM̂P)
et tan(NM̂P), puis cos(MP̂N).
Corrigé
Pour NM̂P :
hypoténuse [MP], adjacent [MN], opposé [NP]. cos(NM̂P) = MN / MP ; sin(NM̂P) =
NP / MP ; tan(NM̂P) = NP / MN.
Pour MP̂N :
adjacent [PN] donc cos(MP̂N) = PN / MP.
Exercice 2
ABC est rectangle en C ; AB = 12 cm ; BÂC = 30°. Calculer BC et AC
(arrondir au dixième si nécessaire).
Corrigé
[AB] est
l'hypoténuse. BC est opposé à BÂC : sin(30°) = BC / 12 donc BC = 12 × sin(30°)
= 6 cm (valeur exacte : sin 30° = 0,5).
AC est
adjacent : cos(30°) = AC / 12 donc AC = 12 × cos(30°) ≈ 10,4 cm.
Exercice 3
GHK est rectangle en H ; GH = 4,5 cm ; HĜK = 50°. Calculer HK au
dixième.
Corrigé
GH est
adjacent (connu), HK est opposé (objectif) → tangente : tan(50°) = HK / 4,5,
donc HK = 4,5 × tan(50°) ≈ 5,4 cm.
Exercice 4
RST est rectangle en R ; RS = 3 cm ; RT̂S = 25°. Calculer ST au
dixième.
Corrigé
Pour RT̂S :
RS est opposé (connu), ST est l'hypoténuse (objectif) → sinus : sin(25°) = 3 /
ST, donc ST = 3 / sin(25°) ≈ 7,1 cm. Contrôle : 7,1 > 3, l'hypoténuse
est bien le plus grand côté.
Exercice 5
ABC est rectangle en B ; AB = 4 cm ; AC = 9 cm. Déterminer BÂC au
degré près.
Corrigé
AB adjacent,
AC hypoténuse → cosinus : cos(BÂC) = 4 / 9, donc BÂC = arccos(4 / 9) ≈ 64°.
Exercice 6
DEF est rectangle en E ; DE = 5 cm ; EF = 3 cm. Déterminer ED̂F au
degré près.
Corrigé
EF opposé, DE
adjacent → tangente : tan(ED̂F) = 3 / 5 = 0,6, donc ED̂F = arctan(0,6) ≈ 31°.
Exercice 7
Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse mesure 13 cm et le côté opposé
à l'angle α mesure 5 cm. Déterminer α au degré près, puis l'autre angle
aigu.
Corrigé
sin(α) = 5 /
13, donc α = arcsin(5 / 13) ≈ 23°. L'autre angle aigu mesure environ 90°
− 23° = 67°.
Exercice 8
IJK est rectangle en J ; IK = 9 cm ; JK = 5 cm (c'est la figure de
l'exemple 2, Activité 4 de ton professeur). Déterminer JÎK au degré près de
deux façons.
Corrigé
Méthode du
professeur (2 étapes) : Pythagore : IJ² = IK² − JK² = 81 − 25 = 56, donc IJ
= √56 ≈ 7,48 cm ; puis cos(JÎK) = √56 / 9, JÎK ≈ 34°.
Méthode
directe : JK est opposé à JÎK et IK est l'hypoténuse → sin(JÎK) = 5 / 9,
donc JÎK = arcsin(5 / 9) ≈ 34°. Le sinus économise une étape (et évite
d'utiliser une valeur arrondie).
B7. Problèmes pour travailler seul
Problème 1 — L'échelle contre le mur
Une échelle
[PE] de 5 m est posée contre un mur vertical. Elle forme avec le sol un angle
de 70°. Pour la sécurité, cet angle doit être compris entre 65° et 75°.
1) À
quelle hauteur HE l'échelle touche-t-elle le mur ? (au cm près)
2) À quelle
distance HP du mur se trouve le pied de l'échelle ?
Corrigé
Le triangle
HPE est rectangle en H ; [PE] est l'hypoténuse.
1) HE est
opposé à l'angle HP̂E : sin(70°) = HE / 5, HE = 5 × sin(70°) ≈ 4,70 m.
2) HP est
adjacent : cos(70°) = HP / 5, HP = 5 × cos(70°) ≈ 1,71 m.
Problème 2 — La rampe d'accès
Pour être
accessible aux fauteuils roulants, une rampe doit avoir une pente d'au plus 5 %
(elle monte d'au plus 5 cm pour 100 cm parcourus à l'horizontale). Une rampe
permet de monter de 40 cm sur une distance horizontale de 10 m.
1) Cette
rampe est-elle conforme ?
2) Calculer
l'angle qu'elle forme avec le sol, au dixième de degré.
Corrigé
1) Pente =
0,40 / 10 = 0,04 = 4 % ≤ 5 % : la rampe est conforme.
2) Dans le
triangle rectangle formé par la rampe, la hauteur (opposé) et le sol (adjacent)
: tan(α) = 0,40 / 10 = 0,04, donc α = arctan(0,04) ≈ 2,3°. Une pente
en % est la tangente de l'angle, multipliée par 100.
Problème 3 — La hauteur du bâtiment
Léo se place
à 25 m d'un bâtiment. Avec un clinomètre tenu à 1,60 m du sol, il vise le
sommet T du bâtiment sous un angle de 32° par rapport à l'horizontale. Quelle
est la hauteur du bâtiment, au centimètre près ?
Corrigé
Le triangle
OKT est rectangle en K, avec OK = 25 m. KT est opposé à l'angle de 32° et OK
adjacent → tan(32°) = KT / 25, donc KT = 25 × tan(32°) ≈ 15,62 m.
Il faut
ajouter la hauteur des yeux de Léo : 15,62 + 1,60 ≈ 17,22 m.
Problème 4 — Le cerf-volant
Le fil d'un
cerf-volant, bien tendu, mesure 30 m et forme un angle de 40° avec le sol. On
néglige la taille de l'enfant. À quelle hauteur vole le cerf-volant ?
(au dixième de mètre)
Corrigé
Le fil est
l'hypoténuse ; la hauteur est le côté opposé à l'angle de 40° : h = 30 ×
sin(40°) ≈ 19,3 m.
B8. Fiche de révision express — Trigonométrie
|
Je connais… |
Je cherche… |
J'écris… |
|
un
angle + une longueur |
une
longueur |
la
formule (cos, sin ou tan) qui contient les deux longueurs, puis produit en
croix |
|
deux longueurs |
un angle |
cos, sin ou tan = quotient, puis arccos
/ arcsin / arctan |
|
deux
longueurs |
la
troisième |
le
théorème de Pythagore |
|
un angle aigu |
l'autre angle aigu |
90° − angle connu |
À retenir — L'essentiel
cos = adjacent /
hypoténuse sin = opposé /
hypoténuse tan = opposé / adjacent
•
SOH – CAH – TOA · uniquement dans un triangle
rectangle · angles aigus.
•
cos et sin sont entre 0 et 1 ; tan est un nombre
positif quelconque.
•
Calculatrice en degrés ; angle : 2nde / SHIFT
+ cos, sin ou tan.
•
Rédaction : « Dans le triangle … rectangle en … ,
cos(…) = … » puis calcul, puis phrase réponse avec unité et arrondi.
•
Contrôle : l'hypoténuse est le plus grand côté ; la
somme des angles aigus vaut 90°.
Attention — Les 3 erreurs classiques
•
Oublier de préciser en quel sommet le triangle
est rectangle.
•
Arrondir trop tôt : garde la valeur exacte (cos 35° …)
jusqu'au calcul final.
•
Calculatrice en radians : cos(60) ≈ −0,95 au lieu de
0,5 !
Cartes
Leitner : « cos = ? » → adjacent / hypoténuse · « sin = ? » → opposé /
hypoténuse · « tan = ? » → opposé / adjacent · « Trouver un angle ? » → touche
2nde + cos/sin/tan · « Pente de 10 % ? » → tan(α) = 0,1.
B9. Cinq exercices de type brevet — Trigonométrie
Brevet 2027
Format partie
2 (calculatrice autorisée), sans QCM, réponses justifiées. Les questions
✎ en gras évaluent aussi la maîtrise de la langue : réponds par des phrases
complètes, avec le vocabulaire juste (hypoténuse, adjacent, opposé,
arrondi…).
Exercice 1 (4 points)
DEF est un triangle rectangle en E tel que DE = 4,8 cm et EF = 6,4 cm. H
est le pied de la hauteur issue de E.
1) Calculer DF.
2) Calculer cos(ED̂F), puis déterminer ED̂F au degré près.
3) En utilisant le triangle DEH, calculer EH.
4) ✎ Sam affirme que EF̂D mesure environ 37°. Expliquer, par une
phrase rédigée, comment le vérifier sans nouveau calcul trigonométrique.
Corrigé — et barème
1) (1 pt)
D'après le théorème de Pythagore dans DEF rectangle en E : DF² = 4,8² + 6,4² =
23,04 + 40,96 = 64, donc DF = 8 cm.
2) (1 pt)
cos(ED̂F) = DE / DF = 4,8 / 8 = 0,6 ; ED̂F = arccos(0,6) ≈ 53°.
3) (1 pt) DEH
est rectangle en H, d'hypoténuse [DE], et EH est opposé à ED̂H = ED̂F.
sin(ED̂F) = EF / DF = 6,4 / 8 = 0,8, donc EH = DE × sin(ED̂F) = 4,8 × 0,8 = 3,84
cm.
4) (1 pt)
Dans le triangle DEF rectangle en E, les deux angles aigus sont complémentaires
: EF̂D = 90° − ED̂F ≈ 90° − 53° = 37°. Sam a raison.
Exercice 2 (4 points)
Sur une route de montagne, un panneau indique une pente de 10 % : la
route monte de 10 m pour 100 m parcourus à l'horizontale.
1) Calculer l'angle α que forme la route avec l'horizontale, au dixième
de degré.
2) Un cycliste parcourt 1,5 km sur la route. Calculer, au mètre
près, le dénivelé (la hauteur gagnée).
3) ✎ Un camarade dit : « Une pente de 100 %, c'est une route
verticale. » Expliquer pourquoi il se trompe.
Corrigé — et barème
1) (1,5 pt)
tan(α) = 10 / 100 = 0,1, donc α = arctan(0,1) ≈ 5,7°.
2) (1,5 pt)
La route (1 500 m) est l'hypoténuse ; le dénivelé est opposé à α : h = 1 500 ×
sin(α) ≈ 149 m (en gardant la valeur exacte de α dans la calculatrice).
3) (1 pt) Une
pente de 100 % signifie tan(α) = 1 : la route monte de 100 m pour 100 m à
l'horizontale, donc α = 45°. Une route verticale ferait 90° et sa pente ne peut
pas s'exprimer en pourcentage (on ne parcourt aucune distance horizontale).
Exercice 3 (4 points)
Du sommet S d'un phare situé à 45 m au-dessus de la mer, un gardien
observe un bateau. Au premier relevé, le bateau B₁ est vu sous un angle de 8°
sous l'horizontale ; 30 secondes plus tard, le bateau B₂ est vu sous un angle
de 12°. Les triangles SPB₁ et SPB₂ sont rectangles en P ; les angles de sommets
B₁ et B₂ mesurent donc respectivement 8° et 12° (angles alternes-internes avec
les angles d'observation).
1) Calculer la distance PB₁ au mètre près.
2) Calculer la distance PB₂ au mètre près.
3) ✎ Le bateau se rapproche-t-il du phare ? Calculer sa vitesse
moyenne en m/s puis en km/h et conclure par une phrase.
Corrigé — et barème
1) (1,5 pt)
Dans SPB₁ rectangle en P : tan(8°) = SP / PB₁ = 45 / PB₁, donc PB₁ = 45 /
tan(8°) ≈ 320 m.
2) (1 pt) De
même, PB₂ = 45 / tan(12°) ≈ 212 m.
3) (1,5 pt)
PB₂ < PB₁ : le bateau se rapproche. Il a parcouru environ 320 − 212 =
108 m en 30 s, soit ≈ 3,6 m/s. 3,6 m/s × 3,6 = ≈ 13 km/h. Le bateau se
rapproche du phare à environ 13 km/h.
Exercice 4 (4 points)
Un cornet de glace a la forme d'un cône de révolution de sommet S. Sa
génératrice [SA] mesure 13 cm et le rayon de sa base [OA] mesure 5 cm.
1) Calculer la hauteur SO du cône.
2) Déterminer l'angle OŜA au degré près.
3) Calculer le volume du cône, arrondi au cm³. (V = (π × r² × h) / 3)
4) ✎ Un glacier affirme que ce cornet peut contenir un quart de
litre. A-t-il raison ? Justifier par une phrase.
Corrigé — et barème
1) (1 pt) SOA
est rectangle en O : SO² = SA² − OA² = 169 − 25 = 144, donc SO = 12 cm.
2) (1 pt)
sin(OŜA) = OA / SA = 5 / 13, donc OŜA ≈ 23°.
3) (1 pt) V =
(π × 5² × 12) / 3 = 100π ≈ 314 cm³.
4) (1 pt) Un
quart de litre = 250 cm³ (1 L = 1 000 cm³). 314 cm³ > 250 cm³ : le
glacier a raison.
Exercice 5 (4 points)
ABC est un triangle rectangle en B tel que AC = 10 cm et BÂC = 35°. M
est le point de [AC] tel que AM = 4 cm ; la parallèle à (BC) passant par M
coupe [AB] en N.
1) Calculer AB et BC au dixième.
2) En utilisant le théorème de Thalès, calculer AN et MN au dixième.
3) ✎ Démontrer que le triangle AMN est rectangle en N, puis retrouver
AN par la trigonométrie. Les deux résultats sont-ils cohérents ?
Corrigé — et barème
1) (1,5 pt)
AB = 10 × cos(35°) ≈ 8,2 cm ; BC = 10 × sin(35°) ≈ 5,7 cm.
2) (1,5 pt)
(MN) // (BC), M ∈ [AC], N ∈ [AB] : AM / AC = AN / AB = MN / BC = 4 / 10 = 0,4.
AN = 0,4 × AB ≈ 3,3 cm ; MN = 0,4 × BC ≈ 2,3 cm.
3) (1 pt)
(MN) // (BC) et (BC) ⊥ (AB), donc (MN) ⊥ (AB) : AMN est rectangle en N. Alors
cos(35°) = AN / AM, AN = 4 × cos(35°) ≈ 3,3 cm : les deux méthodes
concordent.
PARTIE C — S'évaluer
C1. Quiz de 50 questions
Mode
d'emploi : cache la réponse avec une feuille, réponds, puis vérifie
immédiatement. Chaque erreur devient une carte Leitner (question au
recto, réponse + explication au verso). Questions 1 à 25 : Thalès ; 26 à 50 :
trigonométrie. Objectif : 45/50 avant de passer à l'épreuve.
Attention
Ce quiz à
choix multiples est un outil d'entraînement et de mémorisation. À
l'épreuve de 2027, il n'y a plus de QCM : l'entraînement « brevet » se
fait avec les exercices rédigés (A9, B9 et C2).
1. Le
théorème de Thalès permet principalement de calculer…
A) une longueur B) un angle C) une aire D) un volume
✔ Réponse A
— Thalès est une
situation de proportionnalité de longueurs.
2. Quelle
condition est indispensable pour appliquer le théorème de Thalès ?
A) deux droites parallèles B) un angle droit C) un triangle isocèle D) trois côtés de même longueur
✔ Réponse A
— Sans parallèles,
pas de Thalès.
3. M
∈ [AB], N ∈ [AC] et (MN) // (BC). Quelle égalité est juste ?
A) AM/MB = AN/AC = MN/BC B) AM/AB = AN/AC = MN/BC C) AB/AM = AN/AC = MN/BC D) AM/AB = AC/AN = MN/BC
✔ Réponse B
— Petit triangle au
numérateur, grand triangle au dénominateur, côtés correspondants.
4. Même
figure : AM = 3 cm, AB = 9 cm, BC = 12 cm. MN = ?
A) 36 cm B) 6 cm C) 4 cm D) 8 cm
✔ Réponse C
— MN = 3 × 12 ÷ 9 =
4.
5. Même
figure : AM = 2 cm, AB = 8 cm, AN = 3 cm. AC = ?
A) 12 cm B) 5,3 cm C) 6 cm D) 9 cm
✔ Réponse A
— AC = 8 × 3 ÷ 2 =
12.
6. Dans
la configuration « papillon », les deux triangles sont…
A) emboîtés l'un dans l'autre B) forcément rectangles C) forcément isocèles D) opposés par le sommet
✔ Réponse D
— Ils partagent un
sommet et sont de part et d'autre.
7. A,
O, C alignés ; B, O, D alignés ; (AB) // (CD). Quelle égalité est juste ?
A) OA/OD = OB/OC = AB/CD B) OA/OC = OD/OB = AB/CD C) OC/OA = OB/OD = AB/CD D) OA/OC = OB/OD = AB/CD
✔ Réponse D
— On associe O-A-B à
O-C-D.
8. Papillon
: OA = 4, OC = 6, CD = 9. AB = ?
A) 6 B) 13,5 C) 2,7 D) 11
✔ Réponse A
— AB = 4 × 9 ÷ 6 =
6.
9. Pour
prouver que deux droites SONT parallèles, on utilise…
A) le théorème de Thalès B) la contraposée du théorème de
Thalès C) la réciproque du théorème
de Thalès D) le théorème de Pythagore
✔ Réponse C
— Le théorème
suppose le parallélisme : il ne peut pas le prouver.
10. Pour
prouver que deux droites NE SONT PAS parallèles, on utilise…
A) la réciproque du théorème de
Thalès B) la contraposée du théorème
de Thalès C) le théorème de
Pythagore D) le cosinus
✔ Réponse B
— Quotients
différents → pas parallèles.
11. OC/OA
= 3/7,5 et OD/OB = 4/10. Ces quotients sont…
A) différents B) égaux (ils valent 2,5) C) impossibles à comparer D) égaux (ils valent 0,4)
✔ Réponse D
— 3 ÷ 7,5 = 0,4 et 4
÷ 10 = 0,4.
12. Comment
comparer 5/7 et 7/10 de façon sûre ?
A) comparer les numérateurs B) comparer les dénominateurs C) comparer des valeurs arrondies au
dixième D) comparer les produits en
croix 5 × 10 et 7 × 7
✔ Réponse D
— Les produits en
croix donnent une comparaison exacte.
13. 5
× 10 = 50 et 7 × 7 = 49. Donc…
A) 5/7 ≠ 7/10 B) 5/7 = 7/10 C) 5/7 < 7/10 D) on ne peut pas conclure
✔ Réponse A
— 50 ≠ 49 : les
quotients sont différents.
14. Pour
la réciproque, en plus de l'égalité des quotients, il faut vérifier…
A) que le triangle est
rectangle B) que les points sont
alignés dans le même ordre C) que
les longueurs sont des entiers D) que
les droites sont perpendiculaires
✔ Réponse B
— C'est la condition
d'ordre.
15. Si
AM/AB = 0,6 (configuration emboîtée), le triangle AMN est…
A) une réduction de ABC de
coefficient 0,6 B) un agrandissement
de coefficient 0,6 C) un
agrandissement de coefficient 1,6 D)
une réduction de coefficient 0,4
✔ Réponse A
— k < 1 :
réduction.
16. Dans
une réduction de coefficient 0,5, l'aire est multipliée par…
A) 0,5 B) 0,25 C) 2
D) 1
✔ Réponse B
— Les aires sont
multipliées par k² = 0,25.
17. Dans
une rédaction de Thalès, on commence par…
A) écrire le résultat final B) prendre la calculatrice C) tracer une hauteur D) citer les points alignés et les
droites parallèles
✔ Réponse D
— On justifie la
configuration avant d'appliquer.
18. AN/AC
= 2/5 avec AC = 10 cm. AN = ?
A) 25 cm B) 4 cm C) 2 cm D) 5 cm
✔ Réponse B
— AN = 2 × 10 ÷ 5 =
4.
19. Si
toutes les longueurs sont en cm, la longueur calculée avec Thalès est en…
A) cm² B) cm
C) sans unité D) m
✔ Réponse B
— Une longueur garde
l'unité des données.
20. Dans
la configuration emboîtée (M sur [AB]), le quotient AM/AB est…
A) strictement supérieur à 1 B) égal à 1 C) négatif D) strictement inférieur à 1
✔ Réponse D
— AM < AB.
21. A,
M, B et A, N, C alignés dans le même ordre, avec AM/AB = AN/AC. Alors…
A) (MN) // (BC) B) (MB) // (NC) C) (MN) ⊥ (AB) D) ABC est rectangle
✔ Réponse A
— C'est la
réciproque.
22. EF/EG
= 0,75 et EH/EI = 0,8 (même sommet E). Alors (FH) et (GI) sont…
A) parallèles B) perpendiculaires C) confondues D) non parallèles
✔ Réponse D
— Quotients
différents → contraposée.
23. Le
théorème de Thalès traduit une situation de…
A) symétrie B) proportionnalité C) rotation D) translation
✔ Réponse B
— Les longueurs sont
proportionnelles.
24. DE
= 7/3 cm. L'arrondi au dixième est…
A) 2,33 cm B) 2,4 cm C) 2,3 cm D) 7,3 cm
✔ Réponse C
— 7 ÷ 3 = 2,333…
25. Bâton
1 m, ombre 0,8 m ; ombre de l'arbre 6,4 m. Hauteur de l'arbre ?
A) 5,12 m B) 6,4 m C) 8 m D) 7,2 m
✔ Réponse C
— h = 6,4 × 1 ÷ 0,8
= 8.
26. Au
collège, la trigonométrie s'utilise dans…
A) un triangle rectangle B) n'importe quel triangle C) un triangle isocèle D) un triangle équilatéral
✔ Réponse A
— Seulement dans un
triangle rectangle.
27. L'hypoténuse
est…
A) le plus petit côté B) le côté adjacent à l'angle C) le côté opposé à l'angle droit D) n'importe quel côté
✔ Réponse C
— C'est aussi le
plus long côté.
28. cos(angle
aigu) = ?
A) côté opposé / hypoténuse B) côté adjacent / hypoténuse C) côté opposé / côté adjacent D) hypoténuse / côté adjacent
✔ Réponse B
— CAH.
29. sin(angle
aigu) = ?
A) côté adjacent / hypoténuse B) côté opposé / côté adjacent C) côté opposé / hypoténuse D) côté adjacent / côté opposé
✔ Réponse C
— SOH.
30. tan(angle
aigu) = ?
A) côté adjacent / côté opposé B) côté opposé / hypoténuse C) côté opposé / côté adjacent D) hypoténuse / côté opposé
✔ Réponse C
— TOA.
31. Quel
est le moyen mnémotechnique de la trigonométrie ?
A) TOC – SAH – COA B) SOH – CAH – TOA C) HOS – HAC – AOT D) SAC – HOT – COA
✔ Réponse B
— Sinus Opposé
Hypoténuse, etc.
32. ABC
rectangle en A. Le côté adjacent à l'angle AB̂C est…
A) [AC] B) [BC] C) aucun D) [AB]
✔ Réponse D
— [AB] touche B et
fait partie de l'angle droit.
33. ABC
rectangle en A. Le côté opposé à l'angle AB̂C est…
A) [AB] B) [AC] C) [BC] D) [AA]
✔ Réponse B
— [AC] fait face à
l'angle en B.
34. ABC
rectangle en A. cos(AB̂C) = ?
A) AC/BC B) AB/AC C) AB/BC D) BC/AB
✔ Réponse C
— Adjacent /
hypoténuse.
35. Le
cosinus d'un angle aigu est toujours…
A) compris entre 0 et 1 B) supérieur à 1 C) négatif D) égal à 0,5
✔ Réponse A
— L'hypoténuse est
au dénominateur.
36. La
tangente d'un angle aigu peut être…
A) toujours inférieure à 1 B) n'importe quel nombre positif C) toujours comprise entre 0 et 1 D) négative
✔ Réponse B
— tan(60°) ≈ 1,73
> 1.
37. Pour
la trigonométrie, la calculatrice doit être en mode…
A) degrés B) radians C) grades D) peu importe
✔ Réponse A
— Vérifier : cos(60)
= 0,5.
38. cos(60°)
= ?
A) 0,87 B) 1
C) 0,5 D) 0
✔ Réponse C
— Valeur à
connaître.
39. Pour
trouver l'angle dont le cosinus vaut 0,45, on utilise…
A) arccos (touche 2nde puis
cos) B) la touche cos seule C) la touche tan D) la touche ×
✔ Réponse A
— C'est la fonction
réciproque du cosinus.
40. cos(x)
= 0,5 avec x aigu. x = ?
A) 60° B) 30° C) 45° D) 0,5°
✔ Réponse A
— arccos(0,5) = 60°.
41. DEF
rectangle en E, DF = 8, ED̂F = 35°. DE = ?
A) 8 ÷ cos(35°) B) 8 × sin(35°) C) 8 × tan(35°) D) 8 × cos(35°)
✔ Réponse D
— DE adjacent, DF
hypoténuse.
42. KLM
rectangle en L, KL = 5, LK̂M = 40°. KM = ?
A) 5 ÷ cos(40°) B) 5 × cos(40°) C) 5 × sin(40°) D) 5 ÷ tan(40°)
✔ Réponse A
— L'inconnue KM est
au dénominateur.
43. On
connaît le côté opposé et le côté adjacent d'un angle. On utilise…
A) le cosinus B) le sinus C) Pythagore uniquement D) la tangente
✔ Réponse D
— TOA.
44. On
connaît l'hypoténuse et le côté opposé à un angle. On utilise…
A) le cosinus B) la tangente C) Thalès D) le sinus
✔ Réponse D
— SOH.
45. Dans
un triangle rectangle, un angle aigu mesure 35°. L'autre mesure…
A) 65° B) 55° C) 145° D) 45°
✔ Réponse B
— 90 − 35 = 55.
46. Triangle
6-8-10 rectangle : sin(α) = 8/10 = 0,8. α ≈ ?
A) 37° B) 80° C) 53° D) 0,8°
✔ Réponse C
— arcsin(0,8) ≈
53,1°.
47. «
BC ≈ 6,53 cm » signifie que…
A) 6,53 est la valeur exacte B) BC vaut exactement 6,5 C) le calcul est faux D) 6,53 est une valeur arrondie
✔ Réponse D
— Le symbole ≈
indique un arrondi.
48. Échelle
de 5 m, angle de 70° avec le sol. Hauteur atteinte ?
A) 5 × cos(70°) B) 5 ÷ sin(70°) C) 5 × sin(70°) D) 5 × tan(70°)
✔ Réponse C
— Hauteur = côté
opposé, échelle = hypoténuse.
49. Une
pente de 10 % signifie que…
A) sin(α) = 10 B) tan(α) = 0,1 C) α = 10° D) cos(α) = 0,1
✔ Réponse B
— 10 m de montée
pour 100 m horizontaux.
50. On
connaît deux côtés d'un triangle rectangle et on cherche le troisième. Le plus
direct :
A) le théorème de Thalès B) la tangente C) le théorème de Pythagore D) la contraposée
✔ Réponse C
— Pas besoin
d'angle.
C2. Épreuve classique du brevet — sujet type
session 2027
Brevet 2027
Mathématiques
— Durée : 2 heures — Épreuve notée sur 20 — Coefficient 2.
•
Partie 1 — Automatismes et applications directes
: 20 minutes, 6 points, sans calculatrice. Réponses courtes, sans
justification. La copie est ramassée à la fin des 20 minutes.
•
Partie 2 — Raisonnement et résolution de problèmes
: 1 h 40, 14 points, calculatrice autorisée. Toutes les réponses doivent
être justifiées ; les essais et démarches, même non aboutis, sont pris en
compte.
•
Maîtrise de la langue : 2 points inclus dans la
partie 2 (orthographe, syntaxe, lexique, organisation du raisonnement), évalués
plus particulièrement sur les questions en gras ✎.
Ce sujet
est centré sur les chapitres Pythagore – Thalès – Trigonométrie. Le jour du
brevet, la partie 1 porte sur l'ensemble du cycle 4 et la partie 2 mélange tous
les thèmes du programme de 3e.
Partie 1 — Automatismes (20 min, 6 points,
sans calculatrice)
Chaque
question vaut 0,75 point. Écrire uniquement la réponse.
1.
Calculer 7² + 24².
2.
Écrire la fraction 3 / 5 sous forme d'un pourcentage.
3.
Compléter : dans un triangle rectangle, cos(angle) = … / …
4.
Déterminer x tel que 4 / 10 = x / 15.
5.
Donner la médiane de la série : 3 ; 8 ; 5 ; 12 ; 7.
6. Un
article coûte 40 €. Son prix augmente de 25 %. Quel est le nouveau prix ?
7.
Dans le triangle ABC, M ∈ [AB], N ∈ [AC] et (MN) // (BC). AM = 2 cm, AB = 6 cm,
BC = 9 cm. Donner MN.
8. Le
cosinus d'un angle aigu peut-il être égal à 1,2 ? Répondre par oui ou non.
Partie 2 — Raisonnement et résolution de
problèmes (1 h 40, 14 points)
Exercice 1 (4 points) — Le terrain
Un terrain a
la forme du triangle EFG ci-contre, avec EF = 20 m, FG = 21 m et EG = 29 m.
1) Montrer
que le triangle EFG est rectangle. Préciser en quel point.
2) Calculer
l'aire du terrain.
3) Déterminer
la mesure de l'angle FÊG au degré près.
4) ✎ Le
propriétaire veut planter une haie le long de [EG] ; les plants sont espacés de
50 cm. Expliquer combien de plants il doit acheter s'il en met un à chaque
extrémité.
Exercice 2 (4 points) — La largeur du lac
Pour mesurer
la largeur AB d'un lac, un géomètre relève les points ci-dessus : A, O, C sont
alignés ; B, O, D sont alignés. OA = 45 m ; OC = 18 m ; OB = 60 m ; OD = 24 m ;
CD = 22 m.
1) Démontrer
que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
2) Calculer
la largeur AB du lac.
3) ✎ Expliquer
pourquoi la question 1 était indispensable pour répondre à la question 2.
Exercice 3 (4 points) — La tyrolienne
Un parc
installe une tyrolienne : le câble part du haut d'une tour [AH] de 12 m et
arrive au sol au point B, situé à 80 m du pied H de la tour. Le sol est
horizontal et la tour verticale.
1) Calculer
la longueur AB du câble, au dixième de mètre.
2) Le
fabricant recommande une inclinaison du câble comprise entre 5° et 9° par
rapport au sol. Cette installation respecte-t-elle la recommandation ?
3) ✎ Un
enfant descend à la vitesse moyenne de 36 km/h. Combien de temps dure la
descente ? Rédiger la réponse par une phrase.
Maîtrise de la langue (2 points) :
évaluée sur l'ensemble de la partie 2, en particulier sur les questions ✎.
Corrigé et barème de l'épreuve
|
Question |
Réponse attendue (0,75 pt chacune) |
|
1 |
625 |
|
2 |
60 % |
|
3 |
côté
adjacent / hypoténuse |
|
4 |
x = 6 |
|
5 |
7
(série rangée : 3 ; 5 ; 7 ; 8 ; 12) |
|
6 |
50 € |
|
7 |
3
cm |
|
8 |
Non (il est compris entre 0 et 1) |
Détail Q1
: 49 + 576 = 625 (et √625 = 25 : c'est un triangle « 7 – 24 – 25 »). Q4 : x = 4
× 15 ÷ 10 = 6. Q6 : 40 × 1,25 = 50. Q7 : MN = 9 × 2 ÷ 6 = 3.
Corrigé — Partie 2
Exercice 1
(4 pts)
1) (1,25 pt)
Le plus grand côté est [EG]. EG² = 29² = 841 ; EF² + FG² = 400 + 441 = 841. EG²
= EF² + FG², donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, EFG
est rectangle en F.
2) (0,75 pt)
Aire = (EF × FG) / 2 = (20 × 21) / 2 = 210 m².
3) (1 pt)
Pour FÊG : EF adjacent, FG opposé → tan(FÊG) = 21 / 20, donc FÊG ≈ 46°
(on peut aussi utiliser cos(FÊG) = 20 / 29).
4) (1 pt) 29
m = 2 900 cm ; 2 900 ÷ 50 = 58 intervalles, donc il faut 58 + 1 = 59 plants
(un plant de plus que d'intervalles, puisqu'il y en a un à chaque extrémité).
Corrigé
Exercice 2
(4 pts)
1) (1,5 pt)
OC / OA = 18 / 45 = 0,4 et OD / OB = 24 / 60 = 0,4. Les quotients sont égaux et
les points A, O, C et B, O, D sont alignés dans le même ordre : d'après la réciproque
du théorème de Thalès, (AB) // (CD).
2) (1,5 pt)
Les droites (AC) et (BD) sont sécantes en O et (AB) // (CD) ; d'après le
théorème de Thalès : OC / OA = CD / AB, soit 0,4 = 22 / AB, donc AB = 22 ÷ 0,4
= 55 m.
3) (1 pt) Le
théorème de Thalès ne s'applique que si les droites (AB) et (CD) sont
parallèles. Sans la question 1, on n'aurait pas eu le droit de l'utiliser pour
calculer AB.
Corrigé
Exercice 3
(4 pts)
1) (1,5 pt)
Le triangle AHB est rectangle en H ; d'après le théorème de Pythagore : AB² =
12² + 80² = 144 + 6 400 = 6 544, donc AB = √6 544 ≈ 80,9 m.
2) (1,5 pt)
tan(AB̂H) = AH / HB = 12 / 80 = 0,15, donc AB̂H = arctan(0,15) ≈ 8,5°. Comme 5°
≤ 8,5° ≤ 9°, l'installation respecte la recommandation.
3) (1 pt) 36
km/h = 36 000 m ÷ 3 600 s = 10 m/s. Durée ≈ 80,9 ÷ 10 ≈ 8 secondes. La
descente dure environ 8 secondes.
|
Critère (maîtrise de la langue, 2 pts) |
Ce que le correcteur attend |
|
Orthographe |
accords,
vocabulaire mathématique bien orthographié (hypoténuse, parallèles,
réciproque…) |
|
Syntaxe |
des phrases complètes : « Donc, d'après
… , … » |
|
Lexique |
le
mot juste : théorème / réciproque / contraposée ; adjacent / opposé ; valeur
exacte / arrondie |
|
Organisation du raisonnement |
données → propriété utilisée → calcul →
conclusion avec unité |
À retenir — Ma note
Partie 1 : ……
/ 6 · Partie 2 : …… / 12 + maîtrise de la langue
…… / 2 · Total : …… / 20
Rappel : en
2027, la note finale du brevet est sur 20 (épreuves terminales 60 %, contrôle
continu 40 %) ; le diplôme est obtenu à partir de 10/20.
Bibliographie et sources
Cours et
activités du professeur de mathématiques : Rappels — Théorème de Pythagore
et trigonométrie : cosinus, Activités 1 à 4 (septembre 2026).
Textes et
informations sur le brevet 2027 :
Service-Public.fr — Du changement pour le brevet en
2026 (nouvelle épreuve de mathématiques)
Service-Public.fr — Quel changement dans la notation
pour le brevet et le baccalauréat en 2027 ?
Académie de Normandie — DNB 2027, Mathématiques
Digischool — Sujets de référence du brevet 2027
Digischool — Barème orthographe brevet 2027
L'Étudiant — Quels automatismes maîtriser pour le
brevet de mathématiques ?
Figures : réalisées pour ce document
(Python / matplotlib). Les situations des problèmes sont fictives.
Aucun commentaire:
Enregistrer un commentaire
Remarque : Seul un membre de ce blog est autorisé à enregistrer un commentaire.