mathematiques 3- 4 notion de fonctions

 

MATHÉMATIQUES  •  CLASSE DE 3e  •  PRÉPARATION AU BREVET (DNB) CHAPITRE 4 Notion de fonction Utiliser une fonction — déterminer une image — déterminer un antécédent

 

⭐  À RETENIR — objectifs du chapitre Utiliser la notion de fonction dans des situations variées (formule, programme de calcul, tableau, courbe). Déterminer l'image d'un nombre par une fonction, par le calcul ou par lecture graphique. Déterminer un antécédent d'un nombre par une fonction, par le calcul ou par lecture graphique. Résoudre des problèmes concrets à l'aide d'une fonction : aires, lectures graphiques, programmes de calcul, théorème de Thalès, équations, problèmes ouverts.

Cours illustré  •  fiche de révision  •  exercices résolus  •  quiz de 50 questions  •  épreuve type brevet

Document pédagogique — Dr Claude Jean Paris

 

Sommaire

Cours — Comprendre et utiliser la notion de fonction.......................................................................... 3

1. Qu'est-ce qu'une fonction ?................................ 3

2. Déterminer l'image d'un nombre par une fonction..................................................................... 4

3. Déterminer un antécédent d'un nombre par une fonction..................................................................... 5

4. Tracer une courbe point par point (calculatrice).................................................................................... 5

5. Lectures graphiques : aller plus loin................... 6

6. Fonctions linéaires, affines et théorème de Thalès......................................................................... 7

7. Résoudre une équation à l'aide d'une fonction. 7

8. Calculer une aire à l'aide d'une fonction............ 8

9. Programme de calcul et fonction........................ 9

Fiche de révision express........................................ 10

Je résous seul (4 exercices guidés)....................... 11

8 exercices résolus (aire, graphique, Thalès, équations…)................................................................ 13

Ouverture interdisciplinaire (population, freinage, récipients)................................................. 18

Quiz — 50 questions................................................ 21

Épreuve type brevet + exercices niveau brevet 29

Bibliographie.............................................................. 34

 

Cours — Comprendre et utiliser la notion de fonction

Dans ce chapitre, tu vas apprendre à utiliser la notion de fonction, à déterminer l'image d'un nombre par une fonction, puis à déterminer un antécédent d'un nombre par une fonction. Ces trois compétences reviennent chaque année à l'épreuve de mathématiques du brevet (DNB).

1. Qu'est-ce qu'une fonction ?

En mathématiques, une fonction est un procédé qui, à un nombre de départ, fait correspondre un seul et unique nombre d'arrivée. On peut se représenter une fonction comme une machine : on entre un nombre, la machine effectue des calculs, et il ressort un seul nombre.

Une fonction f transforme x en f(x).

📘  DÉFINITION Une fonction f est un procédé qui associe à chaque nombre x un unique nombre noté f(x), appelé image de x par f. On note : f : x ↦ f(x)  et on lit « f associe à x le nombre f(x) », ou « f de x ». Si f(x) = k, on dit que x est un antécédent de k par f et que k est l'image de x par f.

Les différentes façons de définir une fonction

Une fonction peut être donnée de quatre manières différentes, qui décrivent toutes le même lien entre x et f(x) :

Mode de définition	Exemple
Par une expression algébrique (formule)	f(x) = 3x − 2
Par un programme de calcul	« Choisir un nombre, le multiplier par 3, puis soustraire 2 »
Par un tableau de valeurs	x = 0 → f(x) = −2  ;  x = 4 → f(x) = 10
Par une représentation graphique	une courbe tracée dans un repère

 

⭐  À RETENIR Quel que soit le mode de définition choisi (formule, programme de calcul, tableau ou courbe), une fonction respecte toujours la même règle : à un nombre x donné, elle associe une seule image f(x).

2. Déterminer l'image d'un nombre par une fonction

Déterminer l'image d'un nombre x, c'est calculer ou lire la valeur de f(x). Il existe trois méthodes, selon la façon dont la fonction est donnée.

🧭  MÉTHODE — par le calcul (fonction donnée par une expression) 1. On remplace x par sa valeur dans l'expression de f(x). 2. On effectue les calculs en respectant les priorités opératoires (parenthèses, puissances, multiplications/divisions, additions/soustractions).

✏  EXEMPLE Soit f(x) = 2x² − 5. Calculer l'image de 3 par f. f(3) = 2 × 3² − 5 = 2 × 9 − 5 = 18 − 5 = 13 L'image de 3 par f est 13.

🧭  MÉTHODE — par lecture graphique 1. On repère x sur l'axe des abscisses. 2. On se déplace verticalement jusqu'à la courbe représentant la fonction. 3. On se déplace horizontalement jusqu'à l'axe des ordonnées : on lit alors l'image f(x).

Lecture graphique de l'image de x = 4.

🧭  MÉTHODE — par lecture dans un tableau de valeurs Si x apparaît dans le tableau, l'image f(x) se trouve juste en dessous (ou à côté, selon l'orientation du tableau).

3. Déterminer un antécédent d'un nombre par une fonction

Déterminer un antécédent d'un nombre k, c'est chercher un (ou plusieurs) nombre(s) x dont l'image par f est égale à k, c'est-à-dire résoudre l'équation f(x) = k.

🧭  MÉTHODE — par le calcul (résolution d'équation) 1. On écrit l'équation f(x) = k. 2. On résout cette équation comme une équation classique, pour isoler x.

✏  EXEMPLE Soit f(x) = 3x + 1. Déterminer l'antécédent de 13 par f. On résout f(x) = 13, soit 3x + 1 = 13 ⟹ 3x = 12 ⟹ x = 4 L'antécédent de 13 par f est 4 (on vérifie : f(4) = 3 × 4 + 1 = 13 ✓).

🧭  MÉTHODE — par lecture graphique 1. On repère la valeur k sur l'axe des ordonnées. 2. On se déplace horizontalement jusqu'à la courbe. 3. On se déplace verticalement jusqu'à l'axe des abscisses : on lit alors un antécédent de k.

Lecture graphique d'un antécédent de y = 5.

⚠  ATTENTION Un nombre peut avoir aucun, un seul ou plusieurs antécédents par une fonction f, alors qu'un nombre x a toujours une seule image par f. Sur un graphique, s'il existe plusieurs points de la courbe ayant la même ordonnée k, alors k possède plusieurs antécédents.

4. Tracer une courbe point par point (à la calculatrice)

Pour représenter graphiquement une fonction, on construit d'abord un tableau de valeurs, puis on place les points correspondants dans un repère, avant de les relier.

🧭  MÉTHODE — avec la calculatrice (mode « table ») 1. Entrer l'expression de f(x) dans l'éditeur de fonctions de la calculatrice (touche f(x) ou Y=). 2. Passer en mode « Table » et choisir un pas (par exemple 1) et un intervalle de valeurs pour x. 3. Lire dans le tableau généré les couples (x ; f(x)) obtenus. 4. Reporter chaque couple comme un point dans un repère (abscisse x, ordonnée f(x)). 5. Relier les points par un tracé continu (à main levée si la fonction n'est pas linéaire/affine) pour obtenir la courbe représentative de f.

Construction de la courbe de f(x) = x² − 2x − 1 point par point.

⭐  À RETENIR Plus on place de points (pas petit), plus le tracé de la courbe est précis. Pour une fonction affine, deux points suffisent car sa représentation est une droite.

5. Lectures graphiques : aller plus loin

Une courbe donnée dans un repère permet de répondre à de nombreuses questions sans calcul : déterminer des images, des antécédents, comparer deux fonctions, ou encore résoudre des équations et des inéquations.

Question posée	Méthode de lecture graphique
Quelle est l'image de a ?	Partir de a en abscisse, monter à la courbe, lire l'ordonnée.
Quel est un antécédent de b ?	Partir de b en ordonnée, avancer jusqu'à la courbe, lire l'abscisse.
La fonction est-elle croissante sur [a ; b] ?	La courbe « monte » de gauche à droite sur cet intervalle.
Où deux fonctions ont-elles la même image ?	Repérer le(s) point(s) d'intersection des deux courbes.

6. Fonctions linéaires, fonctions affines et théorème de Thalès

📘  DÉFINITION Une fonction linéaire est une fonction de la forme f(x) = a x, où a est un nombre appelé coefficient. Sa représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère. Une fonction affine est une fonction de la forme f(x) = a x + b. Sa représentation graphique est une droite (qui ne passe pas par l'origine si b ≠ 0).

Le théorème de Thalès, utilisé pour établir des proportionnalités dans des figures géométriques, est directement lié aux fonctions linéaires : le rapport constant obtenu par Thalès correspond exactement au coefficient a d'une fonction linéaire f(x) = a x.

Le rapport de Thalès OM/OB = ON/OC est le coefficient de la fonction linéaire associée.

🧭  MÉTHODE — relier Thalès et fonction linéaire 1. Dans une configuration de Thalès, calculer le rapport constant k = OM/OB (= ON/OC = MN/BC). 2. La grandeur d'arrivée est alors une fonction linéaire de la grandeur de départ : f(x) = k x. 3. On peut utiliser cette fonction pour calculer directement n'importe quelle longueur proportionnelle, sans reformuler Thalès à chaque fois.

7. Résoudre une équation à l'aide d'une fonction

Résoudre une équation, c'est trouver la (ou les) valeur(s) de x qui la vérifient. Deux méthodes sont possibles : le calcul algébrique, ou la lecture graphique lorsque les fonctions concernées sont représentées.

🧭  MÉTHODE — résoudre une équation par le calcul 1. Isoler les termes en x d'un côté de l'égalité, les nombres de l'autre. 2. Simplifier chaque membre. 3. Diviser par le coefficient de x pour obtenir la solution.

✏  EXEMPLE Résoudre 4x − 7 = 2x + 9 4x − 2x = 9 + 7  ⟹  2x = 16  ⟹  x = 8 La solution est x = 8.

Résoudre graphiquement une équation

Résoudre graphiquement une équation de la forme f(x) = g(x) revient à chercher l'abscisse du (ou des) point(s) d'intersection des courbes représentatives de f et de g. Résoudre f(x) = k revient à chercher les abscisses des points de la courbe de f dont l'ordonnée vaut k (intersection avec la droite horizontale d'équation y = k).

Résolution graphique de 2x + 1 = −0,5x + 8 : lecture de l'abscisse du point d'intersection.

⚠  ATTENTION Une lecture graphique donne une valeur approchée. Pour une valeur exacte, il faut vérifier ou recalculer le résultat par le calcul algébrique chaque fois que c'est possible.

8. Calculer une aire à l'aide d'une fonction

Dans de nombreux problèmes, l'aire d'une figure dépend d'une longueur variable x. On peut alors exprimer cette aire comme une fonction A(x), l'étudier, la représenter, et l'utiliser pour résoudre des problèmes d'optimisation (aire maximale, aire imposée, etc.).

Un rectangle de périmètre fixé a une aire A(x) = x(10 − x), maximale pour x = 5.

🧭  MÉTHODE — exprimer une aire en fonction de x 1. Choisir la lettre x pour désigner la longueur variable et exprimer les autres dimensions de la figure en fonction de x. 2. Utiliser la formule de l'aire de la figure (rectangle, triangle, disque...) pour écrire A(x). 3. Étudier ou représenter A(x) pour répondre à la question posée (aire maximale, aire égale à une valeur donnée...).

9. Programme de calcul et fonction

Un programme de calcul est une suite d'instructions appliquées à un nombre de départ. Un programme de calcul définit toujours une fonction : on peut le traduire en une expression algébrique f(x), qui permet de calculer directement le résultat pour n'importe quel nombre choisi, sans reprendre chaque étape.

Traduire un programme de calcul en expression algébrique f(x).

🧭  MÉTHODE — traduire un programme de calcul en fonction 1. Noter x le nombre choisi au départ. 2. Traduire chaque étape du programme par une opération sur x, dans l'ordre indiqué, en respectant les parenthèses si nécessaire. 3. Réduire l'expression obtenue pour obtenir f(x) sous sa forme la plus simple. 4. Vérifier la formule obtenue en comparant, pour une valeur de x au choix, le résultat du calcul direct et celui donné par le programme étape par étape (on peut utiliser un tableur pour automatiser cette vérification, voir le classeur Excel associé à ce chapitre).

 

Fiche de révision express

À connaître par cœur avant le quiz et l'épreuve type brevet.

Vocabulaire

Mot / notation	Signification
f(x)	image de x par la fonction f
antécédent de k par f	nombre x tel que f(x) = k
fonction linéaire	f(x) = a x  →  droite passant par l'origine
fonction affine	f(x) = a x + b  →  droite
programme de calcul	suite d'instructions définissant une fonction

 

Les méthodes essentielles

⭐  À RETENIR — déterminer une image Par le calcul : je remplace x par sa valeur dans l'expression de f(x), puis je calcule. Par lecture graphique : je pars de x en abscisse → je monte à la courbe → je lis l'ordonnée.

⭐  À RETENIR — déterminer un antécédent Par le calcul : je résous l'équation f(x) = k. Par lecture graphique : je pars de k en ordonnée → j'avance jusqu'à la courbe → je lis l'abscisse.

⚠  ATTENTION Un nombre a toujours une seule image, mais peut avoir 0, 1 ou plusieurs antécédents.

⭐  À RETENIR — résoudre une équation Par le calcul : je regroupe les x d'un côté, les nombres de l'autre, puis je divise. Graphiquement, f(x) = g(x) : je lis l'abscisse du point d'intersection des deux courbes.

⭐  À RETENIR — Thalès et fonction linéaire Le rapport constant de Thalès (OM/OB = ON/OC) est exactement le coefficient a de la fonction linéaire f(x) = a x qui relie les deux grandeurs.

⭐  À RETENIR — aire en fonction de x 1) Exprimer toutes les dimensions en fonction de x. 2) Appliquer la formule d'aire adaptée à la figure. 3) On obtient A(x).

 

 

Je résous seul — Utiliser la notion de fonction

Cette double page est prévue pour t'entraîner en autonomie : lis le point méthode, puis résous chaque exercice avant de vérifier ta réponse dans le corrigé situé juste en dessous. N'ouvre le corrigé qu'après avoir cherché sérieusement !

🧭  MÉTHODE — la démarche à suivre pour utiliser une fonction 1. Je repère comment la fonction est donnée : par une expression, un programme de calcul, un tableau ou une courbe. 2. Si l'on me demande une image : je pars du nombre x (calcul, tableau ou lecture graphique verticale puis horizontale). 3. Si l'on me demande un antécédent : je pars du nombre f(x) = k et je résous l'équation f(x) = k, ou je fais une lecture graphique horizontale puis verticale. 4. Je vérifie toujours mon résultat en recalculant l'image trouvée, ou en la replaçant sur le graphique.

 

Déterminer une image (3 exercices)

Exercice 1 — par le calcul

Soit la fonction f définie par f(x) = 5x − 3. Déterminer l'image de −2 par f.

 

✅  EXERCICE RÉSOLU — corrigé f(−2) = 5 × (−2) − 3 = −10 − 3 = −13 L'image de −2 par f est −13.

Exercice 2 — par le calcul (avec parenthèses)

Soit la fonction g définie par g(x) = (x + 1)² − 4. Déterminer l'image de 3 par g.

 

✅  EXERCICE RÉSOLU — corrigé g(3) = (3 + 1)² − 4 = 4² − 4 = 16 − 4 = 12 L'image de 3 par g est 12.

Exercice 3 — par lecture dans un tableau de valeurs

Le tableau ci-dessous donne quelques valeurs d'une fonction h. Quelle est l'image de 2 par h ?

 

x	−1	0	2	5
h(x)	6	3	−3	−12

 

 

✅  EXERCICE RÉSOLU — corrigé Dans le tableau, à x = 2 correspond h(x) = −3. L'image de 2 par h est −3.

 

Déterminer un antécédent (1 exercice)

Exercice 4 — par résolution d'équation

Soit la fonction f définie par f(x) = 4x + 9. Déterminer l'antécédent de 1 par f.

 

✅  EXERCICE RÉSOLU — corrigé On résout l'équation f(x) = 1 : 4x + 9 = 1 ⟹ 4x = 1 − 9 ⟹ 4x = −8 ⟹ x = −2 L'antécédent de 1 par f est −2 (vérification : f(−2) = 4 × (−2) + 9 = −8 + 9 = 1 ✓).

 

Résoudre des problèmes avec une fonction — 8 exercices résolus

Cette section propose un exercice résolu et entièrement corrigé pour chaque grand type de problème du programme : calcul d'aire, lecture graphique, tracé de courbe à la calculatrice, programme de calcul, théorème de Thalès, résolution d'équation, résolution graphique d'une équation, et problème ouvert.

1. Calculer une aire à l'aide d'une fonction

Énoncé — On dispose d'un fil de fer de 24 cm pour former un rectangle. On note x la largeur du rectangle, en centimètres.

a) Exprimer la longueur du rectangle en fonction de x.

b) Exprimer l'aire A(x) du rectangle en fonction de x.

c) Calculer l'aire du rectangle lorsque x = 5 cm.

✅  EXERCICE RÉSOLU — corrigé a) Le périmètre vaut 24 cm, donc la demi-somme largeur + longueur vaut 12 cm. La longueur est donc : 12 − x. b) L'aire d'un rectangle est largeur × longueur, donc A(x) = x(12 − x) = 12x − x². c) A(5) = 5 × (12 − 5) = 5 × 7 = 35. L'aire du rectangle est 35 cm² lorsque x = 5 cm.

2. Faire une lecture graphique (image et antécédent)

Énoncé — La courbe ci-dessous représente une fonction f. En utilisant uniquement le graphique :

a) Déterminer l'image de 4 par f.

b) Déterminer un antécédent de 5 par f.

Courbe représentative de la fonction f.

✅  EXERCICE RÉSOLU — corrigé a) On part de x = 4 sur l'axe des abscisses, on monte jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée : on trouve f(4) = 5. L'image de 4 par f est donc 5. b) On cherche un nombre dont l'image est 5 : on repère le point de la courbe d'ordonnée 5, c'est justement celui trouvé ci-dessus, d'abscisse 4. Un antécédent de 5 par f est donc 4.

3. Tracer une courbe point par point à la calculatrice

Énoncé — Soit la fonction f définie par f(x) = x² − 2x − 1. En utilisant la calculatrice, construire un tableau de valeurs pour x allant de −2 à 4 (pas de 1), puis tracer la courbe représentative de f.

✅  EXERCICE RÉSOLU — corrigé On règle la calculatrice en mode Table avec f(x) = x² − 2x − 1, de x = −2 à x = 4, pas 1. On obtient le tableau suivant : x −2 −1 0 1 2 3 4 f(x) 7 2 −1 −2 −1 2 7   On place ensuite chacun des points (x ; f(x)) dans un repère, puis on les relie par une courbe continue :

Courbe représentative de f(x) = x² − 2x − 1.

4. Appliquer et traduire un programme de calcul

Énoncé — On considère le programme de calcul suivant : « Choisir un nombre. Ajouter 3. Multiplier le résultat par 2. Soustraire 4. »

a) Appliquer ce programme au nombre 5.

b) Exprimer, en fonction de x, le résultat f(x) obtenu en appliquant ce programme au nombre x.

c) Un élève affirme : « Si je choisis 10, j'obtiens 22. » A-t-il raison ?

✅  EXERCICE RÉSOLU — corrigé a) Avec 5 : (5 + 3) × 2 − 4 = 8 × 2 − 4 = 16 − 4 = 12. b) f(x) = (x + 3) × 2 − 4 = 2x + 6 − 4 = 2x + 2. c) f(10) = 2 × 10 + 2 = 22. L'élève a raison.

5. Utiliser le théorème de Thalès et une fonction linéaire

Énoncé — Dans le triangle OBC, les points M et N appartiennent respectivement à [OB] et [OC], avec (MN) parallèle à (BC). On donne OM = 3 cm, OB = 6 cm et BC = 8 cm.

a) Calculer MN à l'aide du théorème de Thalès.

b) On note x la longueur OM. Exprimer MN en fonction de x sous la forme d'une fonction linéaire, sachant que OB = 6 cm et BC = 8 cm.

✅  EXERCICE RÉSOLU — corrigé a) D'après le théorème de Thalès dans le triangle OBC : OM/OB = MN/BC, donc 3/6 = MN/8, d'où MN = 8 × 3/6 = 4 cm. b) De façon générale, OM/OB = MN/BC donne MN = BC/OB × OM = 8/6 × x = 4/3 x. La fonction f : x ↦ 4/3 x est une fonction linéaire de coefficient 4/3.

6. Résoudre une équation

Énoncé — Résoudre l'équation suivante : 3(x − 2) + 5 = 2x + 7.

✅  EXERCICE RÉSOLU — corrigé On développe le membre de gauche : 3x − 6 + 5 = 2x + 7, soit 3x − 1 = 2x + 7. On regroupe les termes en x d'un côté et les nombres de l'autre : 3x − 2x = 7 + 1, soit x = 8. La solution de l'équation est x = 8.

7. Résoudre graphiquement une équation

Énoncé — On donne les fonctions f(x) = 2x + 1 et g(x) = −0,5x + 8, représentées ci-dessous. Résoudre graphiquement l'équation f(x) = g(x), puis vérifier le résultat par le calcul.

Représentations graphiques de f et g.

✅  EXERCICE RÉSOLU — corrigé Graphiquement, les deux droites se coupent en un point d'abscisse environ 2,8. On lit donc x ≈ 2,8 comme solution approchée de f(x) = g(x). Par le calcul : 2x + 1 = −0,5x + 8 ⟹ 2x + 0,5x = 8 − 1 ⟹ 2,5x = 7 ⟹ x = 2,8. La lecture graphique est confirmée : la solution exacte est x = 2,8.

8. Résoudre un problème ouvert

Énoncé — Deux salles de sport proposent les tarifs suivants :

Salle	Tarif
Salle Alpha	20 € d'inscription + 8 € par séance
Salle Oméga	abonnement à 12 € par séance, sans frais d'inscription

 

Un adhérent hésite entre les deux salles. Quelle salle lui conseiller, selon le nombre de séances qu'il prévoit de faire dans l'année ?

✅  EXERCICE RÉSOLU — corrigé On note x le nombre de séances. Le prix payé dans chaque salle est une fonction affine de x : Salle Alpha : A(x) = 8x + 20      Salle Oméga : O(x) = 12x On cherche pour quelles valeurs de x, A(x) est inférieur, égal ou supérieur à O(x). On résout A(x) = O(x) : 8x + 20 = 12x ⟹ 20 = 4x ⟹ x = 5. Pour x = 5 séances, les deux salles coûtent le même prix (60 €). Pour moins de 5 séances par an, la salle Oméga est plus avantageuse (pas de frais fixes). Pour plus de 5 séances, la salle Alpha devient plus avantageuse, car son coût par séance (8 €) est plus faible. Conseil : il faut demander à l'adhérent une estimation du nombre de séances annuelles avant de choisir.

 

Ouverture interdisciplinaire — la fonction dans les autres matières

La notion de fonction ne sert pas qu'en mathématiques : elle permet de modéliser et de comprendre des phénomènes étudiés en SVT, en géographie, en physique, ou encore en technologie. Voici trois exemples concrets.

1. L'évolution de la population mondiale (Géographie / SVT)

La population mondiale P peut être vue comme une fonction du temps t (l'année) : à chaque année correspond un unique effectif de population. Le graphique ci-dessous représente cette fonction à l'aide d'estimations et de projections de l'ONU (valeurs arrondies, en milliards d'habitants).

La population mondiale P, fonction croissante du temps t.

Question	Réponse attendue
Quelle est l'image de l'année 2024 par cette fonction ?	Environ 8,1 milliards d'habitants.
La fonction est-elle croissante sur la période représentée ?	Oui, la courbe monte continuellement : la population mondiale n'a cessé d'augmenter.
Un antécédent de 6,1 (milliards) existe-t-il sur ce graphique ?	Oui, l'année 2000 (lecture graphique).

 

⚠  ATTENTION Les valeurs après 2024 sont des projections, pas des mesures : une fonction peut aussi servir à modéliser et anticiper un phénomène, avec une marge d'incertitude qui grandit à mesure que l'on s'éloigne dans le temps.

2. La distance de freinage en fonction de la vitesse (Physique / Prévention routière)

La distance nécessaire pour arrêter un véhicule après un freinage dépend de sa vitesse. On peut modéliser cette distance de freinage d, en mètres, comme une fonction de la vitesse v, en km/h. Le modèle simplifié utilisé ici (à but pédagogique) est : d(v) = v² / 100 sur chaussée sèche, et d(v) = v² / 50 sur chaussée mouillée.

La distance de freinage n'est pas une fonction linéaire de la vitesse : elle augmente beaucoup plus vite que la vitesse elle-même.

Application : sur chaussée sèche, calculer la distance de freinage à 50 km/h, puis à 100 km/h. Que remarque-t-on ?

✅  EXERCICE RÉSOLU — corrigé d(50) = 50² / 100 = 2500 / 100 = 25 m.  d(100) = 100² / 100 = 10000 / 100 = 100 m. Lorsque la vitesse est multipliée par 2, la distance de freinage est multipliée par 4 (25 × 4 = 100). Ce n'est donc pas une fonction linéaire de la vitesse (sinon la distance aurait aussi doublé) : c'est une conséquence directe du fait que la formule contient v², et non v.

3. Mathémagie du récipient — associer une forme à sa courbe de remplissage

Un classique des problèmes de brevet : on remplit un récipient à un débit d'eau constant (le même volume d'eau ajouté à chaque seconde). On s'intéresse à la fonction qui, au temps t, associe la hauteur h d'eau dans le récipient. La forme du récipient détermine entièrement l'allure de cette courbe.

Trois récipients, trois courbes hauteur/temps différentes, pour un même débit constant.

Associer chaque récipient (A, B ou C) à la courbe qui lui correspond (Courbe 1, 2 ou 3), en justifiant.

✅  EXERCICE RÉSOLU — corrigé Récipient A (cylindre) : la section est constante à toute hauteur, donc la hauteur augmente régulièrement au cours du temps (vitesse constante) → Courbe 1 (droite). Récipient B (pointe en bas, s'évase) : la section est très petite en bas puis grandit ; l'eau monte donc très vite au début (petite section à remplir), puis de plus en plus lentement (section de plus en plus grande) → Courbe 2 (courbe qui ralentit). Récipient C (base étroite puis large) : l'eau monte d'abord rapidement dans la partie étroite, avec un changement de rythme net au moment où l'eau atteint la partie évasée, où elle monte alors plus lentement → Courbe 3 (courbe avec un changement de pente net). Cette activité montre qu'une fonction peut être entièrement définie par une situation concrète, sans aucune formule algébrique : la courbe suffit à décrire complètement le phénomène.

4. Comprendre les programmes de calcul et les fonctions avec un tableur

Un tableur (Excel) permet de vérifier très rapidement qu'un programme de calcul et une expression algébrique définissent la même fonction : il suffit de programmer les deux calculs dans deux colonnes différentes, pour de nombreuses valeurs de x, et de vérifier que les résultats coïncident à chaque ligne.

🧭  MÉTHODE — utiliser un tableur pour étudier une fonction 1. Dans une colonne A, saisir une liste de valeurs de x (par exemple de −5 à 5). 2. Dans une colonne B, saisir la formule du programme de calcul étape par étape (une colonne intermédiaire par étape), ou directement =2*A1+5 par exemple. 3. Dans une colonne C, saisir l'expression algébrique proposée pour f(x) et comparer les résultats des colonnes B et C : ils doivent être identiques sur toutes les lignes. 4. Sélectionner les colonnes A et B (ou C) et insérer un graphique de type « Nuage de points avec courbe lissée » pour obtenir automatiquement la représentation graphique de la fonction.

Un classeur Excel « Programmes de calcul et fonctions », comportant 4 niveaux d'exercices déjà programmés (formules et graphiques automatiques), accompagne ce chapitre — voir le fichier fourni séparément.

 

Quiz — 50 questions sur la notion de fonction

Réponds à chaque question, puis vérifie immédiatement ta réponse (la bonne réponse est indiquée en vert). Compte tes bonnes réponses à la fin pour évaluer ta maîtrise du chapitre.

Distribution des bonnes réponses — A : 13  •  B : 13  •  C : 12  •  D : 12  (sur 50 questions)

 

1. Si f(x) = k, comment appelle-t-on x ?

A) un antécédent de k par f   ✔

B) l'image de k par f

C) le coefficient de f

D) la solution de l'équation x = f

 

2. Si f(x) = k, comment appelle-t-on k ?

A) un antécédent de x par f

B) l'image de x par f   ✔

C) la fonction f elle-même

D) la variable de la fonction

 

3. Quelle écriture signifie « l'image de 3 par la fonction f » ?

A) 3f

B) f + 3

C) f(3)   ✔

D) 3 × (f)

 

4. Une fonction associe à un nombre de départ :

A) plusieurs nombres d'arrivée possibles

B) aucun nombre nécessairement

C) toujours le nombre 0

D) un seul nombre d'arrivée   ✔

 

5. Parmi ces expressions, laquelle ne définit PAS une fonction linéaire ?

A) f(x) = 3x + 2   ✔

B) f(x) = 5x

C) f(x) = −2x

D) f(x) = x

 

6. La représentation graphique d'une fonction affine est :

A) une courbe quelconque

B) une droite   ✔

C) une demi-droite fermée

D) toujours une parabole

 

7. Soit f(x) = 2x + 3. Quelle est l'image de 4 par f ?

A) 10

B) 14

C) 11   ✔

D) 9

 

8. Soit g(x) = x² − 1. Quelle est l'image de −3 par g ?

A) −10

B) 10

C) −8

D) 8   ✔

 

9. Soit h(x) = 5 − 2x. Quelle est l'image de 2 par h ?

A) 1   ✔

B) 3

C) 9

D) −1

 

10. Soit f(x) = 3(x − 1). Quelle est l'image de 5 par f ?

A) 14

B) 12   ✔

C) 6

D) 18

 

11. Soit f(x) = x² + 2x. Quelle est l'image de −1 par f ?

A) 1

B) 3

C) −1   ✔

D) −3

 

12. Soit f(x) = −4x + 7. Quelle est l'image de 3 par f ?

A) 5

B) 19

C) −19

D) −5   ✔

 

13. Soit f(x) = x ÷ 2 + 1. Quelle est l'image de 6 par f ?

A) 4   ✔

B) 7

C) 3

D) 8

 

14. Soit f(x) = 7 − x. Quelle est l'image de −2 par f ?

A) 5

B) 9   ✔

C) −9

D) −5

 

15. Le point de coordonnées (2 ; 7) appartient à la courbe d'une fonction f. Quelle est l'image de 2 par f ?

A) 2

B) 9

C) 7   ✔

D) on ne peut pas savoir

 

16. Le point de coordonnées (−3 ; 5) appartient à la courbe d'une fonction g. Quelle est l'image de −3 par g ?

A) −3

B) −5

C) 0

D) 5   ✔

 

17. Pour lire graphiquement l'image d'un nombre a, on se déplace d'abord :

A) verticalement depuis a jusqu'à la courbe, puis horizontalement jusqu'à l'axe des ordonnées   ✔

B) horizontalement depuis a jusqu'à la courbe, puis verticalement jusqu'à l'axe des abscisses

C) directement en diagonale jusqu'à l'origine

D) horizontalement puis verticalement dans le même sens

 

18. Le point de coordonnées (0 ; 4) appartient à la courbe d'une fonction f. Que vaut f(0) ?

A) 0

B) 4   ✔

C) −4

D) 1/4

 

19. Un point de coordonnées (5 ; −2) appartient à la courbe d'une fonction h. Que peut-on en déduire ?

A) l'image de −2 par h est 5

B) l'antécédent de −2 par h n'existe pas

C) l'image de 5 par h est −2   ✔

D) h(−2) = 5

 

20. Soit f(x) = 3x − 2. Quel est l'antécédent de 7 par f ?

A) 5

B) 2

C) 9

D) 3   ✔

 

21. Soit f(x) = 5x + 4. Quel est l'antécédent de −6 par f ?

A) −2   ✔

B) 2

C) −1

D) 10

 

22. Soit f(x) = −2x + 9. Quel est l'antécédent de 1 par f ?

A) −4

B) 4   ✔

C) 5

D) 8

 

23. Soit f(x) = 4(x + 1). Quel est l'antécédent de 20 par f ?

A) 5

B) 16

C) 4   ✔

D) 6

 

24. Soit f(x) = x ÷ 3 − 1. Quel est l'antécédent de 1 par f ?

A) 3

B) 0

C) 12

D) 6   ✔

 

25. Soit f(x) = 7x − 1. Quel est l'antécédent de −8 par f ?

A) −1   ✔

B) 1

C) −7

D) 7

 

26. Le point de coordonnées (4 ; 9) appartient à la courbe d'une fonction f. Quel est un antécédent de 9 par f ?

A) 9

B) 4   ✔

C) 36

D) 0

 

27. Sur une courbe, le nombre k possède deux antécédents distincts x₁ et x₂. Que peut-on affirmer ?

A) la courbe n'est pas celle d'une fonction

B) k n'a en réalité pas d'image

C) les points (x₁ ; k) et (x₂ ; k) appartiennent tous deux à la courbe   ✔

D) x₁ et x₂ ont des images différentes

 

28. Pour lire graphiquement un antécédent de b, on se déplace d'abord :

A) verticalement depuis b jusqu'à la courbe, puis horizontalement jusqu'à l'axe des ordonnées

B) en suivant uniquement l'axe des ordonnées

C) il n'existe pas de méthode graphique pour un antécédent

D) horizontalement depuis b jusqu'à la courbe, puis verticalement jusqu'à l'axe des abscisses   ✔

 

29. Un nombre peut avoir combien d'antécédents au maximum par une fonction donnée ?

A) cela dépend de la fonction, il peut y en avoir plusieurs   ✔

B) toujours un seul

C) toujours zéro

D) toujours exactement deux

 

30. Soit f(x) = x². Combien le nombre 4 a-t-il d'antécédents par f ?

A) un seul (2)

B) deux (2 et −2)   ✔

C) aucun

D) quatre

 

31. Programme : « Choisir un nombre, le doubler, ajouter 5 ». Quelle est l'expression de f(x) obtenue ?

A) f(x) = 2(x + 5)

B) f(x) = x + 10

C) f(x) = 2x + 5   ✔

D) f(x) = 5x + 2

 

32. Programme : « Ajouter 4, puis multiplier le résultat par 3 ». Quel résultat obtient-on en partant de 2 ?

A) 10

B) 24

C) 14

D) 18   ✔

 

33. Programme : « Multiplier par 3, puis soustraire 7 ». Quelle est l'expression de f(x) ?

A) f(x) = 3x − 7   ✔

B) f(x) = 3(x − 7)

C) f(x) = 7 − 3x

D) f(x) = 3x + 7

 

34. Programme : « Choisir un nombre, l'élever au carré, ajouter 1 ». Quel résultat obtient-on en partant de −3 ?

A) 8

B) 10   ✔

C) −10

D) −8

 

35. Deux programmes de calcul donnent toujours le même résultat que l'autre lorsque :

A) ils comportent le même nombre d'étapes

B) ils utilisent les mêmes nombres

C) ils définissent la même fonction (mêmes images pour tout x)   ✔

D) l'un des deux commence par « choisir un nombre »

 

36. La représentation graphique d'une fonction linéaire f(x) = a x passe toujours par :

A) le point (1 ; 1)

B) le point (a ; a)

C) aucun point particulier

D) l'origine du repère   ✔

 

37. Dans une configuration de Thalès, OM/OB = 2/5. Si OB = 15 cm, combien mesure OM ?

A) 6 cm   ✔

B) 7,5 cm

C) 10 cm

D) 37,5 cm

 

38. Soit f(x) = 4x une fonction linéaire. Quelle est l'image de 7 par f ?

A) 11

B) 28   ✔

C) 3

D) 74

 

39. Une fonction affine a pour expression f(x) = a x + b. Si b = 0, alors la fonction est :

A) forcément une fonction constante

B) impossible à représenter graphiquement

C) aussi une fonction linéaire   ✔

D) sans lien avec une droite

 

40. Un rapport de Thalès vaut 0,4. Quel est le coefficient de la fonction linéaire qui lui est associée ?

A) 2,5

B) 0,04

C) 4

D) 0,4   ✔

 

41. Résoudre l'équation 5x − 3 = 17 donne :

A) x = 4   ✔

B) x = 2,8

C) x = 20

D) x = 14/5

 

42. Résoudre l'équation 2(x + 3) = x + 10 donne :

A) x = 8

B) x = 4   ✔

C) x = −4

D) x = 16

 

43. Résoudre graphiquement l'équation f(x) = g(x) revient à chercher :

A) l'ordonnée à l'origine de f

B) le coefficient directeur de g

C) l'abscisse du (ou des) point(s) d'intersection des courbes de f et de g   ✔

D) l'aire comprise entre les deux courbes

 

44. Deux droites représentant des fonctions affines se coupent en un point unique. Que peut-on affirmer sur l'abscisse de ce point ?

A) elle est toujours égale à 0

B) elle est égale à l'image de 0

C) elle n'a aucun lien avec les deux fonctions

D) elle est solution de l'équation f(x) = g(x)   ✔

 

45. Résoudre l'équation −3x + 1 = 10 donne :

A) x = −3   ✔

B) x = 3

C) x = −11/3

D) x = 11/3

 

46. Un rectangle a pour périmètre 16 cm, largeur x et longueur (8 − x). Quelle est son aire lorsque x = 3 ?

A) 24 cm²

B) 15 cm²   ✔

C) 11 cm²

D) 18 cm²

 

47. Pour le rectangle précédent, A(x) = x(8 − x). Pour quelle valeur entière de x l'aire est-elle maximale ?

A) x = 8

B) x = 1

C) x = 4   ✔

D) x = 2

 

48. Un carré a pour côté x. Son aire A(x) s'exprime par :

A) A(x) = 2x

B) A(x) = 4x

C) A(x) = x/2

D) A(x) = x²   ✔

 

49. Sur un graphique, une fonction est dite croissante sur un intervalle lorsque sa courbe :

A) monte de gauche à droite sur cet intervalle   ✔

B) descend de gauche à droite sur cet intervalle

C) reste horizontale sur cet intervalle

D) change de sens plusieurs fois sur cet intervalle

 

50. Soit f(x) = 2x − 5. L'image de l'antécédent de 3 par f est :

A) 5

B) 3 (par définition de l'antécédent)   ✔

C) 2

D) −5

 

⭐  À RETENIR — évalue-toi 45 à 50 bonnes réponses : le chapitre est acquis, tu peux créer tes fiches Leitner et passer à l'épreuve type brevet. 35 à 44 bonnes réponses : relis les méthodes du cours sur les points où tu as hésité, puis refais les exercices « Je résous seul ». Moins de 35 bonnes réponses : reprends le cours depuis le début, section par section, avant de refaire ce quiz.

 

Épreuve type brevet — Notion de fonction

Cette épreuve reprend la présentation et les exigences de l'épreuve de mathématiques du DNB (session 2026-2027) : calculatrice autorisée, rédaction complète des calculs et des justifications exigée, corrigé détaillé avec barème indicatif fourni page suivante.

⚠  ATTENTION Avant de commencer : fais cette épreuve au propre, sur feuille, dans les conditions du brevet (sans regarder le cours), puis contrôle-toi avec le corrigé fourni. Chronomètre-toi si possible (35 à 40 minutes pour cet exercice).

Exercice — 20 points

Un club de tennis propose deux formules à ses adhérents pour une année :

Formule	Tarif
Formule « Liberté »	6 € par heure de location de terrain, sans cotisation
Formule « Club »	cotisation annuelle de 40 €, puis 2 € par heure de location

 

On note x le nombre d'heures de location de terrain réservées dans l'année.

On modélise le prix payé, en euros, par deux fonctions L et C définies par : L(x) = 6x et C(x) = 2x + 40.

Partie A — Utiliser les fonctions (8 points)

1) Justifier que L est une fonction linéaire et que C est une fonction affine. (2 points)

2) Calculer L(10) et interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé. (2 points)

3) Calculer l'image de 15 par la fonction C. (2 points)

4) Un adhérent a payé 58 € avec la formule « Club ». Déterminer, par le calcul, le nombre d'heures qu'il a réservées (c'est-à-dire un antécédent de 58 par C). (2 points)

Partie B — Lecture graphique (6 points)

Les représentations graphiques des fonctions L et C sont données ci-dessous.

Représentations graphiques (schéma générique à réinterpréter avec les données de l'énoncé).

5) Par lecture graphique, déterminer les coordonnées du point d'intersection des deux droites, puis interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé. (3 points)

6) En déduire, en le justifiant, la formule la plus avantageuse pour un adhérent qui prévoit de réserver 12 heures de terrain dans l'année. (3 points)

Partie C — Résoudre un problème (6 points)

7) Retrouver par le calcul l'abscisse du point d'intersection trouvé en Partie B, en résolvant l'équation L(x) = C(x). (3 points)

8) Un adhérent hésite entre les deux formules pour une pratique occasionnelle (moins de 10 heures dans l'année). Rédiger une réponse argumentée, calculs à l'appui, pour l'aider à choisir. (3 points)

 

Corrigé détaillé — barème /20

✅  EXERCICE RÉSOLU — corrigé complet Q1 — 2 points L(x) = 6x est de la forme a x avec a = 6 : c'est une fonction linéaire. C(x) = 2x + 40 est de la forme a x + b avec a = 2 et b = 40 : c'est une fonction affine. Q2 — 2 points L(10) = 6 × 10 = 60. Pour 10 heures de location, la formule « Liberté » coûte 60 €. Q3 — 2 points C(15) = 2 × 15 + 40 = 30 + 40 = 70. L'image de 15 par C est 70 (soit 70 € pour 15 heures avec la formule « Club »). Q4 — 2 points On résout C(x) = 58 : 2x + 40 = 58 ⟹ 2x = 18 ⟹ x = 9. L'adhérent a réservé 9 heures de terrain. Q5 — 3 points Par lecture graphique, le point d'intersection a pour coordonnées (10 ; 60). Cela signifie que pour 10 heures de location, les deux formules coûtent le même prix (60 €). Q6 — 3 points 12 heures est supérieur à 10 heures (l'abscisse du point d'intersection). Au-delà de ce seuil, la formule « Club » (qui augmente moins vite, coefficient 2 contre 6) devient plus avantageuse. Vérification : L(12) = 72 € et C(12) = 64 €. La formule « Club » est donc la plus avantageuse pour 12 heures. Q7 — 3 points L(x) = C(x) ⟹ 6x = 2x + 40 ⟹ 6x − 2x = 40 ⟹ 4x = 40 ⟹ x = 10. On retrouve bien l'abscisse 10 lue graphiquement. Q8 — 3 points Pour une pratique de moins de 10 heures dans l'année, x < 10, donc L(x) < C(x) (on peut vérifier par exemple avec x = 5 : L(5) = 30 € et C(5) = 50 €). La formule « Liberté », sans cotisation, est donc la plus avantageuse pour une pratique occasionnelle inférieure à 10 heures.

 

Exercices niveau brevet — entraînement supplémentaire

Exercice 1 — 12 points

Un service de location de vélos en libre-service facture 1 € de déblocage, puis 0,50 € par tranche de 10 minutes d'utilisation.

On note x le nombre de tranches de 10 minutes utilisées, et f(x) le prix payé, en euros.

1) Exprimer f(x) en fonction de x. (3 points)

2) Calculer f(6), puis interpréter le résultat. (3 points)

3) Un utilisateur a payé 4,50 €. Combien de tranches de 10 minutes a-t-il utilisées ? (3 points)

4) Ce trajet a duré 45 minutes. Quel est le prix payé, arrondi au centime ? (3 points)

✅  EXERCICE RÉSOLU — corrigé 1) f(x) = 0,5x + 1. 2) f(6) = 0,5 × 6 + 1 = 3 + 1 = 4. Pour 6 tranches de 10 minutes (soit 1 h), le prix payé est 4 €. 3) On résout f(x) = 4,5 : 0,5x + 1 = 4,5 ⟹ 0,5x = 3,5 ⟹ x = 7. L'utilisateur a utilisé 7 tranches de 10 minutes. 4) 45 minutes correspond à 4,5 tranches de 10 minutes ; comme la facturation se fait par tranche entamée, on compte 5 tranches. f(5) = 0,5 × 5 + 1 = 3,5. Le prix payé est 3,50 €.

 

Exercice 2 — 10 points (aire et fonction)

On veut construire un enclos rectangulaire à l'aide de 30 m de grillage, adossé à un mur (un seul côté du rectangle n'a donc pas besoin de grillage).

On note x la largeur de l'enclos (les deux côtés perpendiculaires au mur), en mètres.

1) Justifier que la longueur du troisième côté grillagé (parallèle au mur) est égale à 30 − 2x. (2 points)

2) En déduire que l'aire de l'enclos est donnée par A(x) = x(30 − 2x). (2 points)

3) Calculer A(6). (2 points)

4) Parmi les valeurs entières de x possibles, l'aire est maximale pour x = 7,5. Vérifier ce résultat en calculant A(7) et A(8), et conclure. (4 points)

✅  EXERCICE RÉSOLU — corrigé 1) Le grillage total mesure 30 m et sert à fermer deux largeurs x et une longueur : 2x + longueur = 30, donc longueur = 30 − 2x. 2) L'aire d'un rectangle est largeur × longueur, donc A(x) = x × (30 − 2x) = x(30 − 2x). 3) A(6) = 6 × (30 − 12) = 6 × 18 = 108 m². 4) A(7) = 7 × (30 − 14) = 7 × 16 = 112 m². A(8) = 8 × (30 − 16) = 8 × 14 = 112 m². Les deux valeurs entières encadrant 7,5 donnent la même aire (112 m²), ce qui est cohérent avec un maximum atteint en x = 7,5 (valeur non entière, mais valeur exacte du maximum de la fonction A).

 

Exercice 3 — 10 points (programme de calcul et comparaison de fonctions)

On considère deux programmes de calcul :

Programme A	Programme B
Choisir un nombre, ajouter 6, multiplier par 2	Choisir un nombre, multiplier par 5, soustraire 3

 

1) Montrer que le programme A définit la fonction f(x) = 2x + 12. (2 points)

2) Donner l'expression g(x) définie par le programme B. (2 points)

3) Existe-t-il un nombre pour lequel les deux programmes donnent le même résultat ? Si oui, le déterminer par le calcul. (4 points)

4) Vérifier votre réponse en calculant f et g pour la valeur trouvée. (2 points)

✅  EXERCICE RÉSOLU — corrigé 1) f(x) = (x + 6) × 2 = 2x + 12. 2) g(x) = 5x − 3. 3) On résout f(x) = g(x) : 2x + 12 = 5x − 3 ⟹ 12 + 3 = 5x − 2x ⟹ 15 = 3x ⟹ x = 5. Oui, il existe un tel nombre : x = 5. 4) f(5) = 2 × 5 + 12 = 22 et g(5) = 5 × 5 − 3 = 22. Les deux programmes donnent bien le même résultat, 22, pour le nombre 5.

 

Bibliographie et sources

Ressources officielles et institutionnelles utilisées ou recommandées pour approfondir ce chapitre :

• Éduscol — Programme de mathématiques du cycle 4 (BO)

• Éduscol — Ressources fonctions au cycle 4

• Ministère de l'Éducation nationale — Diplôme national du brevet (DNB)

• Annales officielles du brevet — sujets et corrigés de mathématiques

• APMEP — Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Public

• INSEE — données de démographie et population mondiale

• Organisation des Nations Unies — World Population Prospects

• Sécurité routière — distances d'arrêt et de freinage

 

Chapitre rédigé pour un usage pédagogique — Dr Claude Jean Paris.